Enunciado

Determine o centro de massa da região A dada.

A = { ( x , y ) in R^2 |0 <= x <= 1 , 0 <= y <= x^3 })

Passo 1

Primeiro, vamos pegar a primeira região e isolar o y y = x^3

Passo 2

Agora é só substituir nas fórmulas de centro de massa. Os limites de integração são dados pelas interseções entre as funções, ou seja, [-1,1]

Para x_c

x_c = (int_a^b x f ( x ) d x)/(int_a^b f ( x ) d x)

x_c = (int_0^1 x . x^3 d x)/(int_0^1 x^3 d x)

Resolvendo essas integrais, temos que x_c = (4)/(5)

Passo 3

Para y_c

y_c = ((1)/(2) int_a^b ( f (x) - g (x) ) ( f (x) + g (x) ) d x)/(int_a^b [ f (x) - g ( x ) ] d x)

y_c = ((1)/(2) int_0^1 ( x^3 ) ² d x)/(int_0^1 x^3 d x)

Resolvendo essas integrais, temos que y_c = (2)/(7)

Resposta

x_c = (4)/(5)

y_c = (2)/(7)

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