Enunciado

Determine o comprimento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são

x = y 3 3 + 1 4 y

De y = 1 a y = 3

Passo 1

Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.

Como temos uma função de y , a fórmula vai ser:

L = ∫ a b 1 + f ' y 2 d y

Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, que ele deu no enunciado, e a derivada, em y , da f y , que é a função do enunciado.

O intervalo é de y = 1 até y = 3 , vamos para a derivada.

f y = y 3 3 + 1 4 y

Primeiro, vamos escrever aque l y como potência:

f y = y 3 3 + y - 1 4

Derivando:

f ' y = 3 y 2 3 - y - 2 4

f ' y = y 2 - y - 2 4

Passo 2

Vamos para a interal do comprimento agora, usando oque achamos:

L = ∫ 1 3 1 + y 2 - y - 2 4 2 d y

Abrindo aquele quadrado:

L = ∫ 1 3 1 + y 4 - 1 2 + y - 4 16 d y

L = ∫ 1 3 y 4 + 1 2 + y - 4 16 d y

Aquele termo dentro da raiz vai ser um trinômio quadrado perfeito

y 4 + 1 2 + y - 4 16 = y 2 2 + 2 y 2 y - 2 4 + y - 2 4 = y 2 + y - 2 4 2

Po, temos que adivinhar isso sempre? Não, mas fica aqui a dica. Quando estamos nessas questões de comprimento de arco, é muito comum aparecer trinômios quadrados perfeitos dentro dessa raiz quadrada, então sempre procure esses safadinho. Para isso, tente sempre comparar com

a 2 + 2 a b + b 2 = a + b 2

O comprimento vai ser:

L = ∫ 1 3 y 2 + y - 2 4 2 d y

Como o termo dentro da raiz é positivo nesse intervalo da integral, podemos cortar a raiz com o quadrado e não colocar o módulo.

L = ∫ 1 3 y 2 + y - 2 4 d y

Passo 3

Vamos resolver essa integral:

L = ∫ 1 3 y 2 + y - 2 4 d y

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ y 2 + y - 2 4 d y = y 3 3 - y - 1 4 + C = y 3 3 - y - 1 4 + C

Passo 4

Voltando para a nossa integral definida:

L = ∫ 1 3 y 2 + y - 2 4 d y = y 3 3 - y - 1 4 1 3 =

3 3 3 - 3 - 1 4 - 1 3 3 - 1 - 1 4 =

27 3 - 1 12 - 1 3 - 1 4 =

9 - 1 12 - 4 - 3 12 =

9.12 - 1 12 - 1 12 =

9.12 - 1 12 - 1 12 =

107 12 - 1 12 =

106 12 = 53 6

Passo 5

Segue o gráfico dessa função para enxergamos como ela é:

Resposta

53 6

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