Enunciado

Determine d y // d x por derivação implícita x ^y = sqrt(2)

Passo 1

Primeiro usaremos a relação:

a ^b = e ^(b l n a)

Para reescrever a parte da esquerda da igualdade. Assim:

e ^(y l n x) = sqrt(2)

Passo 2

Elevando ambos os termos ao quadrado, podemos eliminar a radiciação do lado direito da igualdade, ficando com:

e ^(2 y * l n x) = 2

Passo 3

Podemos aqui aplicar a função l n de ambos os lados. O resultado será:

l n (e ^(2 y * l n x)) = l n 2

Aplicando propriedade do ‘peteleco’ do l n , ficamos com:

(2 y * l n x) l n (e) = l n 2

Sendo que l n e = 1 . Assim:

( 2 y * l n x ) = l n 2

Passo 4

Aplicando a derivada dos dois lados, o resultado será:

2 (d y)/(d x) * l n x + 2 y * (d)/(d x) ( l n x ) = (d)/(d x) ( l n 2 )

Resposta

Logo teremos:

(d y)/(d x) = (y)/(x ^2 l n x)

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Encontre (d y)/(d x) por derivação implícita:(1)/(sqrt(x)) + (1)/(sqrt(y)) = 1