Determine dy/dx por derivação implícita x^y = raiz(2)

Passo 1

Primeiro usaremos a relação:

a b = e b   l n   a

Para reescrever a parte da esquerda da igualdade. Assim:

e y   l n   x = 2

Passo 2

Elevando ambos os termos ao quadrado, podemos eliminar a radiciação do lado direito da igualdade, ficando com:

e 2 y ⋅   l n   x = 2

Passo 3

Podemos aqui aplicar a função l n   de ambos os lados. O resultado será:

l n e 2 y ⋅ l n   x = l n   2

Aplicando propriedade do ‘peteleco’ do l n , ficamos com:

2 y ⋅ l n   x l n e = l n   2

Sendo que l n   e = 1 . Assim:

( 2 y ⋅ l n   x   ) = l n   2

Passo 4

Aplicando a derivada dos dois lados, o resultado será:

2 d y d x ⋅ l n   x + 2 y ⋅ d d x ( l n   x ) = d d x ( l n   2 )

Resposta

Logo teremos:

d y d x = y x 2 l n   x

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