Enunciado

Use o método no Exemplo 4a para calcular as integrais definidas nos Exercícios 63-70.

64. ∫ 0 2 2 x + 1 d x

Passo 1

Então pessoal, para estimarmos o valor dessa integral definida como um limite de uma soma de Riemann, precisamos, assim como discutido na seção 3 do George, definir partições P que subdividem o intervalo [ a ,   b ] em n subintervalos de largura igual a:

∆ x = b - a n

∆ x = 2 - 0 n = 2 n

Se fizermos as partições, teremos:

P = 0 ,   2 2 ,   2 . 2 n ,   …   ,   n . 2 n

Sendo assim, temos:

c k = 2 k n

Passo 2

Agora que já descobrimos as partições e o valor de c k , basta substituirmos na soma de Riemann, que é a seguinte:

S n = ∑ k = 1 n f c k . ∆ x

Substituindo os valores encontrados, teremos:

S n = ∑ k = 1 n ( 2 . 2 k n + 1 ) . 2 n

S n = ∑ k = 1 n ( 4 k n + 1 ) . 2 n

Como a somatória está em função de k e, além disso, o argumento é uma soma, podemos fazer o seguinte, galera:

S n = 2 n ∑ k = 1 n 4 k n + 2 n ∑ k = 1 n 1

S n = 8 n ² ∑ k = 1 n k + 2 n ∑ k = 1 n 1

A somatória dos n primeiros números naturais positivos é:

S = n . ( n + 1 ) 2

Substituindo na somatória, teremos:

S n = 8 n ² . n . ( n + 1 ) 2 + 2 n . n

Fazendo as distributivas de maneira correta, teremos:

S n = 4 ( n + 1 ) n + 2

Passo 3

Agora que determinamos o valor da somatória, temos que à medida que n → ∞ e P → 0 , a expressão da somatória tem o seguinte limite:

S n = 4 + 2 = 6

∴ ∫ 0 2 2 x + 1 d x = 6

Resposta

∫ 0 2 2 x + 1 d x = 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre a propriedade 3 das integrais.
Expresse o limite como uma integral definida. lim n → ∞ ⁡ 1 n ∑ i = 1 n 1 1 + i n 2
Expresse o limite como uma integral definida. lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 4 n 5
Encontre ∫ 1 2 x - 2 d x . Sugestão: Escolha x i * como a média geométrica de x i - 1 e x i (isto é, x i * = x i - 1 x i ) e use a identidade 1 m m + 1 = 1 m - 1 m + 1
Seja f 0 = 0 e f x = 1 x se 0x ≤ 1 . Mostre que f não é integrável em 0,1 . [Sugestão: mostre que o primeiro termo na soma de Riemann, f x i * Δ x , pode ser tornado arbitrariamente grande.]