Lista de Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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O fólio de Descartes

a Encontre o coeficiente angular do fólio de Descartes, x 3 + y 3 - 9 x y = 0 nos pontos 4,2 e 2,4

b Em qual ponto, além da origem, o fólio tem uma tangente horizontal?

c Encontre as coordenadas do ponto A da figura, onde o fólio tem uma tangente vertical.

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Encontre a derivada y ' no ponto P = 1 , 1 + 5 2 da curva definida implicitamente abaixo:

x 3 + x y - y 2 = 0

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Encontre d y d x no ponto ( 1,1 ) diferenciando implicitamente a curva definida por

x y = 2 x 3 y 2 - 1

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Se x y + y 2 = 1 , encontre o valor de d y / d x no ponto 0 , - 1 .

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No exercício, use a derivada implícita para determinar d y / d x .

x 2 + y 2 = 1

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Encontre a reta tangente à curva x 2 y x + 3 y = x 2 + 3 y ² no ponto ( 1 ,   1 ) . Admita que a referida curva define implicitamente y = y ( x ) como função diferenciável de x em algum intervalo aberto contendo 1 e de forma que y 1 = 1 .

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Encontre d y d x no ponto ( - 1 , - 1 ) diferenciando implicitamente a curva definida por

x y = 2 + x 2 y

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Determine a expressão de pelo menos duas funções y = y ( x ) definidas implicitamente pela equação x y 2 + x + y = 1 . Explicite seus domínios.

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Considere y   =   f ( x ) definida implicitamente por x 4 -   x y   +   y 4   =   1 . Calcule f ' ( 0 ) , sabendo que f ( x ) > 0 para todo x pertencente aos reais.

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Considere a curva definida, implicitamente, pela equação

x y = 2 x - y + x 2 y

Ache o coeficiente angular da reta tangente a essa curva no ponto 1,1 .

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Seja f uma função derivável definida em um intervalo aberto centrado em x = 0 e dada implicitamente pela equação:

y 3 + x y 2 + y = 2 sen ⁡ x + 2

Qual é o valor de f ' 0 ?

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Encontre a derivada de:

sen ⁡ 3 x 2 - 2 x = y ln ⁡ y 2 + e

No ponto P = 0,0 .

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Calcule a derivada y ' da função y x :

x 2 y + sen ⁡ y x = x

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Seja y x a função definida implícitamente pela relação e y +   y . ln ⁡ x = x em um intervalo contendo x = 1 . Então, y ' 1 é igual a:

  1. - 1
  2. 2
  3. 4
  4. 1

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Calcule a derivada y ' se

y + x e y = x 2 y

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Calcule y ' .

sen ⁡ e x y = x

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Calcule y ' .

ln ⁡ x y + y x = 5

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Considere y   =   f ( x ) definida implicitamente por x 4 -   x y   +   y 4   =   1 . Calcule f ' ( 0 ) , sabendo que f ( x ) > 0 para todo x pertencente aos reais.

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Encontre y ' , se y = y ( x ) é definida implicitamente pela equação

x arctan ⁡ y = x 2 + y ²

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Calcule y ' .

sen ⁡ e x y = x

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Calcule y ' .

ln ⁡ x y + y x = 5

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Prove:

Se y = cos ⁡ x - sen ⁡ x   então 4 x y ' ' + 2 y ' + y = 0 .

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Dada a equação 4 x 2 + 9 y 2 = 1 e d x d t = 3 , calcule d y d t quando x , y = ( 1 2 2 , 1 3 2 )

(a) - 2

(b) 1

(c) 2

(d) - 1

(e) 1 / 2

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Encontre a derivada d y / d x da função x 3 - 3 x y = y 3 .

(a) y ' = ( x 2 - y ) / ( x + y 2 )

(b) y ' = ( y + x 2 ) / ( x - y 2 )

(c) y ' = ( x 2 - y ) / ( x - y 2 )

(d) y ' = ( y - x 2 ) / ( - x + y 2 )

(e) y ' = ( y - x 2 ) / ( x - y 2 )

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Considere a curva definida implicitamente por 2 x 2 + y 2 2 = 25 x 2 - y 2 ,   cuja forma é semelhante a do símbolo do infinito.

a) Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto (3,-1), conforme indicado na figura acima.

b) Encontre os pontos (x,y) desta curva cujas coordenadas y são máximas, conforme indicado pelas setas da figura acima.

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