Enunciado

Determine a derivada.

g) y = e^(3 x) a r c s e n ( 2 x )

Passo 1

Beleza, galera? Essa questão aqui já é um pouquinho mais casca grossa que as anteriores, porque vamos misturar alguns conceitos diferentes, mas não se assusta não, é só ir com calma e passo por passo que dá tudo certo! Como a gente tem um produto de funções, já fica bem na cara que vamos usar a regra do produto. Vamos começar por ela então! A nossa derivada vai ficar assim:

(d y)/(d x) = (e^(3 x))^' a r c s e n ( 2 x ) + e^(3 x) (a r c s e n (2 x))^'

Passo 2

Show de bola, agora precisamos olhar pra essas funções que vamos derivar. Isso vai exigir que a gente use a regra da cadeia, porque temos composição de várias funções! Se liga, a primeira derivada é uma exponencial, com o e sendo elevado a uma função polinomial. Lembra como fica a derivada da exponencial?

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ' ( x )

Então, no nosso caso,

(e^(3 x))^' = e^(3 x) (3 x)^' = 3 e^(3 x)

Além dela, a gente tem essa derivada de a r c s e n . Como já vimos na teoria, a derivada fica assim:

( a r c s e n (g (x))^' = (1)/(sqrt(1 - (g (x))^2)) * g ' ( x )

Aqui nessa questão, vai ficar:

(a r c s e n (2 x))^' = (1)/(sqrt(1 - (2 x)^2)) (2 x)^' = (2)/(sqrt(1 - 4 x^2))

Passo 3

Beleza, agora é só a gente substituir!

(d y)/(d x) = (e^(3 x))^' a r c s e n ( 2 x ) + e^(3 x) (a r c s e n (2 x))^'

Substituindo:

(d y)/(d x) = ( 3 e^(3 x) ) a r c s e n ( 2 x ) + e^(3 x) ((2)/(sqrt(1 - 4 x^2)))

Agora dá uma arrumada na casa botando e^(3 x) em evidência, e aí chegamos na resposta.

(d y)/(d x) = e^(3 x) (3 a r c s e n 2 x + (2)/(sqrt(1 - 4 x^2)))

Resposta

(d y)/(d x) = e^(3 x) (3 a r c s e n 2 x + (2)/(sqrt(1 - 4 x^2)))

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