Determine as derivadas das funções

y = raiz(3)(2r - r^2)

Passo 1

Este é um exercício de derivada em que devemos aplicar a regra da cadeia! Portanto, precisamos pegar a nossa h ( r ) dada e, a partir dela, obter funções f ( u ) e g ( r ) tais que:

h r = f ∘ g r = f g r

Desta forma, precisamos visualizar a nossa função h como uma função composta! Somente a partir disto, poderemos determinar corretamente quem é d y / d r , pois, como esta é uma função composta, ao derivarmos ela, conforme a regra da cadeia, teremos a seguinte relação:

d y d r = h ' r = f ' g r ⋅ g ' ( r )

Portanto, somente após descobrirmos quem é f ( u ) e g ( r ) poderemos derivar estas funções e aplicar corretamente a regra da cadeia.

O procedimento para a obtenção das funções f e g é tentar transformar o termo “mais interno” da nossa h em u = g ( r ) . Ao fazermos esta substituição, obteremos então a função f ( u ) . Complicado isto? Não se assuste, vamos para a questão que verá que é bastante fácil!

Passo 2

Vamos começar por determinar quem é f ( u ) e g ( r ) . Vejamos a nossa função dada:

y = 2 r - r 2 3

O termo “mais interno” é 2 r - r 2 . Se fizermos u = g r = 2 r - r 2 e substituirmos na função acima, obtemos:

y = u 3 = u 1 / 3  

E é assim que conseguimos separar uma função composta! Simples, não é? Portanto, as nossas funções f e g são:

f u = u 1 / 3  

g r = 2 r - r 2

Passo 3

Agora que determinamos quais são as funções f e g , podemos enfim começar a determinar a derivada d y / d r . Vamos começar por determinar a derivada da função f ( u ) . Sendo assim, temos:

y ' = f ' u = u 1 / 3 '

y ' = 1 3 u - 2 / 3 = 1 3 u 2 3

Passo 4

Vamos determinar agora a derivada da função g ( r ) . Sendo assim, temos:

u ' = g ' r = 2 r - r 2 '

g ' r = 2 - 2 r

Passo 5

Vamos fazer a composição de f ' u com g ( r ) , isto é, obter f ' g r . Para isto, basta substituir g r = 2 r - r 2 em todo u na função f ' ( u ) . Portanto, temos:

f ' g r = f ' 2 r - r 2 = 1 3 2 r - r 2 2 3

f ' g r = 1 3 2 r - r 2 2 3

Passo 6

O que nos falta é multiplicar f ' g r por g ' ( r ) para obtermos a derivada d y / d r . Portanto, a resposta final do nosso problema é:

d y d r = 1 3 2 r - r 2 2 3 ⋅ ( 2 - 2 r )

Resposta

d y d r = 2 - 2 r 3 2 r - r 2 2 3

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