Determine as derivadas das funções

r = (cossec(theta) + cotg(theta))^(-1)

Passo 1

Este é um exercício de derivada em que devemos aplicar a regra da cadeia! Portanto, precisamos pegar a nossa h ( θ ) dada e, a partir dela, obter funções f ( u ) e g ( θ ) tais que:

h θ = f ∘ g θ = f g θ

Desta forma, precisamos visualizar a nossa função h como uma função composta! Somente a partir disto, poderemos determinar corretamente quem é d r / d θ , pois, como esta é uma função composta, ao derivarmos ela, conforme a regra da cadeia, teremos a seguinte relação:

d r d θ = h ' θ = f ' g θ ⋅ g ' ( θ )

Portanto, somente após descobrirmos quem é f ( u ) e g ( θ ) poderemos derivar estas funções e aplicar corretamente a regra da cadeia.

O procedimento para a obtenção das funções f e g é tentar transformar o termo “mais interno” da nossa h em u = g ( θ ) . Ao fazermos esta substituição, obteremos então a função f ( u ) . Complicado isto? Não se assuste, vamos para a questão que verá que é bastante fácil!

Passo 2

Vamos começar por determinar quem é f ( u ) e g ( θ ) . Vejamos a nossa função dada:

r = c o s s e c θ + c o t g θ - 1

O termo “mais interno” é c o s s e c θ + c o t g θ . Se fizermos u = g θ = c o s s e c θ + c o t g θ e substituirmos na função acima, obtemos:

r = u - 1  

E é assim que conseguimos separar uma função composta! Simples, não é? Portanto, as nossas funções f e g são:

f u = u - 1  

g θ = c o s s e c θ + c o t g θ

Passo 3

Agora que determinamos quais são as funções f e g , podemos enfim começar a determinar a derivada d r / d θ . Vamos começar por determinar a derivada da função f ( u ) . Sendo assim, temos:

y ' = f ' u = u - 1 '

y ' = - 1 u - 2

y ' = - 1 u 2

Passo 4

Vamos determinar agora a derivada da função g ( θ ) . Sendo assim, temos:

u ' = g ' θ = c o s s e c θ + c o t g θ '

g ' θ = - c o s s e c θ c o t g θ - c o s s e c 2 ( θ )

g ' θ = - c o s s e c θ c o t g θ + c o s s e c 2 θ

Passo 5

Vamos fazer a composição de f ' u com g ( θ ) , isto é, obter f ' g θ . Para isto, basta substituir g θ = c o s s e c θ + c o t g θ em todo u na função f ' ( u ) . Portanto, temos:

f ' g θ = f ' c o s s e c θ + c o t g θ = - 1 c o s s e c θ + c o t g θ 2

f ' g θ = - 1 c o s s e c θ + c o t g θ 2

Passo 6

O que nos falta é multiplicar f ' g θ por g ' ( θ ) para obtermos a derivada d r / d θ . Portanto, a resposta final do nosso problema é:

d r d θ = - 1 c o s s e c θ + c o t g θ 2 ⋅ - c o s s e c θ c o t g θ + c o s s e c 2 θ

d r d θ = c o s s e c θ c o t g θ + c o s s e c 2 θ c o s s e c θ + c o t g θ 2

d r d θ = c o s s e c ( θ ) c o s s e c θ + c o t g θ

Resposta

d r d θ = c o s s e c ( θ ) c o s s e c θ + c o t g θ

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