Enunciado

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função

u = x y z

Passo 1

Para determinar derivadas parciais, é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e tratá-las como valores constantes. É importante destacar que quando um termo só está em função de uma variável e estamos derivando em relação à outra, ou seja, considerando-a constante, a sua derivada é ZERO.

Nessa questão, será necessário utilizar a ferramenta de e l n   f ( x , y )   = f ( x , y ) .

Passo 2

Seja a função: u = x y z

Fixando os valores de y e de z , derivamos em relação a x   e é necessário utilizar a técnica da regra da cadeia. Assim, temos:

u x =   y z .   x y z - 1

É a mesma ideia de derivar x², que obtemos 2 . x 2 - 1

Repetindo o raciocínio, fixamos os valores de x e z , derivando em relação a   y . Nesse item, devemos utilizar a ferramenta apresentada no passo 1. Assim, temos:

u =   e l n   x y z  

Aplicando as propriedades de logaritmo:

u =   e y z   l n   x  

Agora, basta derivar em relação a y , utilizando a regra da cadeia:

u y =   e y z l n   x     1   l n x z =   e y z   l n   x     l n x z

Finalmente, para derivar em relação a z , fixamos os valores de x   e y e também utilizamos a ferramenta apresentada u =   e y z   l n   x   . Utilizando a regra da cadeia, obtemos:

u z =     e y z   l n   x   - 1 y   l n x z ² =   - e y z   l n   x   y   l n x z ²

Resposta

u x =   y z   x y z - 1

u y =   e y z   l n   x     l n x z

u z =   - e y z   l n   x   y   l n x z ²

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