Determine as derivadas parciais em relação a
x
e a
y
, para a seguinte função:
f x , y = e x y l n x 2 y
Ver solução completa Seja
u = x 2 + y 2 ϕ ( x / y )
, em que
ϕ : R → R
é uma função diferenciável de uma variável real. Verifique que
x ∂ u ∂ x + y ∂ u ∂ y = 2 u .
Ver solução completa Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:
f x , y , z = x 2 y - 3 x y 2 + 2 y z
Ver solução completa Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:
f x , y = x 3 + y 2 x 2 + y 2
Ver solução completa Seja
u = x 2 + y 2 ϕ ( x / y )
, em que
ϕ : R → R
é uma função diferenciável de uma variável real. Verifique que
x ∂ u ∂ x + y ∂ u ∂ y = 2 u .
Ver solução completa Seja
g x , y = ψ ( x / y )
, em que
ψ : R → R
é uma função diferenciável de uma variável real. Verifique que
x g x x , y + y g y x , y = 0 ,
para todo
x , y ∈ R ²
²
com
y ≠ 0
.
Ver solução completa Seja
z = e y ϕ x - y
, em que
ϕ : R → R
é uma função diferenciável de uma variável real. Mostre que
δ z δ x + δ z δ y = z
.
Ver solução completa Seja
u = e y ϕ ( x - y )
, em que
ϕ : R → R
é uma função diferenciável de uma variável real. Verifique que
∂ u ∂ x + ∂ u ∂ y = u .
Ver solução completa Seja
g x , y = f x 2 + y 2
, em que
f
é uma função diferenciável.
a) Demonstre que
y δ g δ x - x δ g δ y = 0
Ver solução completa Considere a função
f x , y = x y e x y
Desenhe as curvas contidas no conjunto
A = x , y ∈ R 2 f x x , y = 0 }
E no conjunto
B = x , y ∈ R 2 f y x , y = 0 }
Apontando no desenho o conjunto
A
e o conjunto
B
.
Ver solução completa Seja
z = x f y x - g y x
Onde
f
e
g
são de classe
C ¹
¹
em
R
. Mostre que
z x + y x z y = f y x
Ver solução completa Determine as derivadas parciais da função
f x , y = sen ( x + y ) + cos ( x - y )
Ver solução completa Determine as derivadas parciais da função dada:
w = f r , s , v = 2 r + 3 s cos v
Ver solução completa Mostre que se
w = x 2 y + y 2 z + z 2 x
então
∂ w ∂ x + ∂ w ∂ y + ∂ w ∂ z = x + y + z 2
Ver solução completa Sejam
g
e
h
funções de classe
C ¹
¹
em
R 2
e
f x , y = g x , y h x , y
Assuma que
g 1,2 = 2
h 1,2 = - 2
g x 1,2 = - 1
g y 1,2 = 3
h x 1,2 = 5
h y 1,2 = 0
Encontre
f x ( 1,2 )
e
f y ( 1,2 )
Ver solução completa Seja
f x , y = 14 - x 2 - y 2
Calcule
∂ f ∂ x ( 1,3 )
e
∂ f ∂ y ( 1,3 )
e interprete geometricamente.
Ver solução completa Verifique se a função
u x , t = e - 20 t sen 2 x
Satisfaz a equação diferencial parcial
∂ u ∂ t = 5 ∂ 2 u ∂ x 2
Ver solução completa Considere a função
f : R 2 → R
dada por
f x , y = y 3 x + y 2 , x , y ≠ ( 0,0 ) 0 , x , y = 0,0
a)
f
é contínua na origem?
b) Calcule
∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y
Ver solução completa Considere a função
f x , y = x y x 2 + y 2 , x , y ≠ 0,0 0 , x , y = 0,0
A função é contínua em
0,0 ?
Justifique sua resposta.
Calcule as derivadas parciais
∂ f ∂ x 0,0
e
∂ f ∂ y 0,0
Determine
∂ f ∂ x x , y
e
∂ f ∂ y x , y
para
x , y ≠ 0,0
.
f
é diferenciável em
0,0
? Justifique sua resposta.
Ver solução completa Dados os valores observados de uma quantidade
z = f x , y
em torno dos valores médios
x m = 10
e
y m = 70
:
Estime as taxas de variação de
z
com
x
e de
z
com
y
em torno dos valores médios.
Determine a aproximação linear de
z
em torno do ponto médio
x , y = ( 10,70 )
Ver solução completa Mostre que
Se
f x , y , z = a x + b y + c z n
, onde
a , b , c ∈ R
e
n ∈ N
são constantes, então,
x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y + z ∂ f ∂ z = n f
Ver solução completa Seja
f x , y = y - 3 2 e x 2 α y
Onde
y > 0
. O valor da constante
α
para que
f
satisfaça a equação
∂ f ∂ y = 1 x 2 ∂ ∂ x x 2 ∂ f ∂ x , x ≠ 0
É:
α = 4
α = - 4
α = 2
α = - 2
I n e x i s t e n t e
Ver solução completa Seja
f x , y = y - 3 2 e x 2 α y
Onde
y > 0
. O valor da constante
α
para que
f
satisfaça a equação
∂ f ∂ y = - 1 x 2 ∂ ∂ x x 2 ∂ f ∂ x , x ≠ 0
É:
α = 4
α = - 4
α = 2
α = - 2
I n e x i s t e n t e
Ver solução completa Seja
f x , y = y - 3 2 e x 2 α y
Onde
y > 0
. O valor da constante
α
para que
f
satisfaça a equação
2 ∂ f ∂ y = 1 x 2 ∂ ∂ x x 2 ∂ f ∂ x , x ≠ 0
É:
α = 4
α = - 4
α = 2
α = - 2
I n e x i s t e n t e
Ver solução completa Seja
f x , y = y - 3 2 e x 2 α y
Onde
y > 0
. O valor da constante
α
para que
f
satisfaça a equação
- 2 ∂ f ∂ y = 1 x 2 ∂ ∂ x x 2 ∂ f ∂ x , x ≠ 0
É:
α = 4
α = - 4
α = 2
α = - 2
I n e x i s t e n t e
Ver solução completa Sendo
f x , y , z = e x y z
encontre a soma das derivadas parciais da função em relação a cada variável no ponto
P ( 1,0 , 1 )
.
2 e
1
3 e
0
e
Ver solução completa Seja a função
f x , y , z = x - y 2 + z 2
. Encontre
∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z
.
Ver solução completa Se resistores elétricos de
R 1
,
R 2
,
R 3
ohms são conectados em paralelo para formar um resistor de
R
ohms, o valor de
R
pode ser encontrado a partir da equação:
1 R = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3
Encontre o valor de
∂ R ∂ R 2
quando
R 1 = 30
,
R 2 = 45
e
R 3 = 90
ohms.
Ver solução completa Encontre
∂ f ∂ x
e
∂ f ∂ y
para a função
f x , y = x + y ( x y - 1 )
∂ f ∂ x = - y - 1 x y - 1 2
e
∂ f ∂ y = - x - 1 x y - 1 2
∂ f ∂ x = - y 2 - 1 ( x y - 1 )
e
∂ f ∂ y = - x 2 - 1 ( x y - 1 )
∂ f ∂ x = - y 2 - 1 x y - 1 2
e
∂ f ∂ y = - x 2 - 1 x y - 1 2
∂ f ∂ x = - y 3 x y - 1 2
e
∂ f ∂ y = - x 3 x y - 1 2
∂ f ∂ x = - y 2 - 1 ( x y - 1 )
e
∂ f ∂ y = - x 2 - 1 x y + 1 2
Ver solução completa Calcule as derivadas parciais da função
f x , y = 3 x 2 + 2 y
∂ f ∂ x = 6 x 2
e
∂ f ∂ y = 2
∂ f ∂ x = 3 x
e
∂ f ∂ y = 2 y
∂ f ∂ x = 6 x
e
∂ f ∂ y = 2
∂ f ∂ x = 3 x
e
∂ f ∂ y = 2
∂ f ∂ x = 6 x
e
∂ f ∂ y = 2 y
Ver solução completa Considere a equação
F x , y = c o s ( x - 8 y ) - x e 4 y = 0
que define implicitamente
x
em função de
y
. Usando a fórmula
d x d y = - F x F y ,
temos:
d x d y = s e n x - y + e 4 y 8 s e n x - 8 y - x e 4 y
d x d y = s e n x - 8 y + e 4 y 8 s e n x - 8 y - 4 x e 4 y
d x d y = 8 s e n x - y + e 4 y s e n x - 8 y - 8 x e 4 y
d x d y = s e n x - y + e 4 y s e n x - y - x e 4 y
d x d y = s e n x - 8 y + e 4 y 8 s e n x - 8 y - x e 4 y
Ver solução completa Considere a função
f : R 2 → R
dada por
f x , y = x y x 2 + y 2 , x , y ≠ 0,0 0 , x , y = 0,0
Calcule
∂ f / ∂ x
e
∂ f / ∂ y
f
é diferenciável? Justifique.
Ver solução completa Considere a função
u x , y = f x 2 - y 2
, em que
z = f t
é uma função real de uma variável diferenciável. Verifique se vale a seguinte equação:
y δ u δ x + x δ u δ y = 0
Ver solução completa Considere a função
h x , y = f a x 2 + b y
, onde
f
é uma função real de uma variável, diferenciável em todo
R
, sendo
a
e
b
constantes. Verifique que para todo
x , y ∈ R 2
:
b δ h δ x x , y - 2 a x δ h δ y x , y = 0
Ver solução completa A altura
h
de ondas em mar aberto depende da velocidade do vento
v
e do tempo
t
durante o qual o vento se manteve naquela intensidade. Os valores da função
h = f ( v , t )
são apresentados na tabela abaixo:
Qual o significado das derivadas parciais
∂ h ∂ v
e
∂ h ∂ t
?
Estime os valores de
f v ( 80,15 )
e
f t ( 80 , 15 )
. Quais são as interpretações práticas desses valores?
Qual parece ser o valor do limite
lim t → ∞ ∂ h ∂ t
?
Ver solução completa