1.

Seja u = x 2 + y 2 ϕ ( x / y ) , em que ϕ   : R → R é uma função diferenciável de uma variável real. Verifique que

x ∂ u ∂ x + y ∂ u ∂ y = 2 u .

Resolução
2.

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f x , y , z = x 2 y - 3 x y 2 + 2 y z

Resolução
3.

Determine as derivadas parciais em relação a x e a y , para a seguinte função:

f x , y = e x y   l n x 2 y

Resolução
4.

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f x , y = x 3 + y 2 x 2 + y 2

Resolução
5.

Calcule as derivadas parciais da função

f x , y = ∑ n = 0 ∞ x y n     ,     x y < 1

Resolução
6.

Seja g x , y = ψ ( x / y ) , em que ψ   : R → R é uma função diferenciável de uma variável real. Verifique que

x g x x , y + y g y x , y = 0 ,

para todo x , y ∈ R ² com y ≠ 0 .

Resolução
7.

Seja u = x 2 + y 2 ϕ ( x / y ) , em que ϕ   : R → R é uma função diferenciável de uma variável real. Verifique que

x ∂ u ∂ x + y ∂ u ∂ y = 2 u .

Resolução
8.

Seja z = e y ϕ x - y , em que ϕ : R → R é uma função diferenciável de uma variável real. Mostre que δ z δ x + δ z δ y = z .

Resolução
9.

Seja u = e y ϕ ( x - y ) , em que ϕ   : R → R é uma função diferenciável de uma variável real. Verifique que

∂ u ∂ x + ∂ u ∂ y = u .

Resolução
10.

Seja g x , y = f x 2 + y 2 , em que f é uma função diferenciável.

a) Demonstre que

y δ g δ x - x δ g δ y = 0

Resolução
11.

Considere a função

f x , y = x y e x y

Desenhe as curvas contidas no conjunto

A = x , y ∈ R 2     f x x , y = 0 }  

E no conjunto

B = x , y ∈ R 2     f y x , y = 0 }    

Apontando no desenho o conjunto A e o conjunto B .

Resolução
12.

Seja

z = x f y x - g y x

Onde f e g são de classe C ¹ em R . Mostre que

z x + y x   z y = f y x

Resolução
13.

Determine as derivadas parciais da função

f x , y = ( x 3 + y 3 ) ( x - y )

Resolução
14.

Determine as derivadas parciais da função

f x , y = sen ⁡ ( x + y ) + cos ⁡ ( x - y )

Resolução
16.

Determine as derivadas parciais da função

f x , y , z = e x e y - e z

Resolução
18.

Determine as derivadas parciais da função dada:

w = f r , s , v = 2 r + 3 s cos ⁡ v

Resolução
19.

Mostre que se w = x 2 y + y 2 z + z 2 x então

∂ w ∂ x + ∂ w ∂ y + ∂ w ∂ z = x + y + z 2

Resolução
20.

Sejam g e h funções de classe C ¹ em R 2 e

f x , y = g x , y h x , y

Assuma que

g 1,2 = 2

h 1,2 = - 2

g x 1,2 = - 1

g y 1,2 = 3

h x 1,2 = 5

h y 1,2 = 0

Encontre f x ( 1,2 ) e f y ( 1,2 )

Resolução
23.

Seja

f x , y = 14 - x 2 - y 2

Calcule ∂ f ∂ x ( 1,3 ) e ∂ f ∂ y ( 1,3 ) e interprete geometricamente.

Resolução
29.

Verifique se a função

u x , t = e - 20 t sen ⁡ 2 x

Satisfaz a equação diferencial parcial

∂ u ∂ t = 5 ∂ 2 u ∂ x 2

Resolução
30.

Considere a função f : R 2 → R dada por

f x , y = y 3 x + y 2 ,       x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,       x , y = 0,0

a) f é contínua na origem?

b) Calcule ∂ f ∂ x   e ∂ f ∂ y

Resolução
31.

Considere a função

f x , y = x y x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0,0 0 ,   x , y = 0,0

  1. A função é contínua em 0,0 ? Justifique sua resposta.
  2. Calcule as derivadas parciais ∂ f ∂ x 0,0 e ∂ f ∂ y 0,0
  3. Determine ∂ f ∂ x x , y e ∂ f ∂ y x , y para x , y ≠ 0,0 .
  4. f é diferenciável em 0,0 ? Justifique sua resposta.
Resolução
32.

Dados os valores observados de uma quantidade z = f x , y em torno dos valores médios x m = 10 e y m = 70 :

  1. Estime as taxas de variação de z com x e de z com y em torno dos valores médios.
  2. Determine a aproximação linear de z em torno do ponto médio x , y = ( 10,70 )
Resolução
33.

A altura h de ondas em mar aberto depende da velocidade do vento v e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela intensidade. Os valores da função h = f ( v , t ) são apresentados na tabela abaixo:

  1. Qual o significado das derivadas parciais ∂ h ∂ v e ∂ h ∂ t ?
  2. Estime os valores de f v ( 80,15 ) e f t ( 80 ,   15 ) . Quais são as interpretações práticas desses valores?
  3. Qual parece ser o valor do limite lim t → ∞ ⁡ ∂ h ∂ t ?
Resolução
34.

Mostre que

  1. Se f x , y , z = a x + b y + c z n , onde a , b , c   ∈ R e n ∈ N são constantes, então,

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y + z ∂ f ∂ z = n f

Resolução
35.

Seja

f x , y = y - 3 2 e x 2 α y

Onde y > 0 . O valor da constante α para que f satisfaça a equação

∂ f ∂ y = 1 x 2 ∂ ∂ x x 2 ∂ f ∂ x   ,   x ≠ 0  

É:

  1. α = 4
  2. α = - 4
  3. α = 2
  4. α = - 2
  5. I n e x i s t e n t e
Resolução
36.

Seja

f x , y = y - 3 2 e x 2 α y

Onde y > 0 . O valor da constante α para que f satisfaça a equação

2 ∂ f ∂ y = 1 x 2 ∂ ∂ x x 2 ∂ f ∂ x   ,   x ≠ 0  

É:

  1. α = 4
  2. α = - 4
  3. α = 2
  4. α = - 2
  5. I n e x i s t e n t e
Resolução
37.

Seja

f x , y = y - 3 2 e x 2 α y

Onde y > 0 . O valor da constante α para que f satisfaça a equação

- 2 ∂ f ∂ y = 1 x 2 ∂ ∂ x x 2 ∂ f ∂ x   ,   x ≠ 0  

É:

  1. α = 4
  2. α = - 4
  3. α = 2
  4. α = - 2
  5. I n e x i s t e n t e
Resolução
38.

Seja

f x , y = y - 3 2 e x 2 α y

Onde y > 0 . O valor da constante α para que f satisfaça a equação

∂ f ∂ y = - 1 x 2 ∂ ∂ x x 2 ∂ f ∂ x   ,   x ≠ 0  

É:

  1. α = 4
  2. α = - 4
  3. α = 2
  4. α = - 2
  5. I n e x i s t e n t e
Resolução
39.

Sendo f x , y , z = e x y z encontre a soma das derivadas parciais da função em relação a cada variável no ponto P ( 1,0 , 1 ) .

  1. 2 e
  2. 1
  3. 3 e
  4. 0
  5. e
Resolução
40.

Seja a função f x , y , z = x - y 2 + z 2 . Encontre ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z .

Resolução
41.

Se resistores elétricos de R 1 , R 2 , R 3 ohms são conectados em paralelo para formar um resistor de R ohms, o valor de R pode ser encontrado a partir da equação:

1 R = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3

Encontre o valor de ∂ R ∂ R 2 quando R 1 = 30 , R 2 = 45 e R 3 = 90 ohms.

Resolução
42.

Encontre ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y para a função f x , y = x + y ( x y - 1 )

  1. ∂ f ∂ x = - y - 1 x y - 1 2   e ∂ f ∂ y = - x - 1 x y - 1 2
  2. ∂ f ∂ x = - y 2 - 1 ( x y - 1 )   e ∂ f ∂ y = - x 2 - 1 ( x y - 1 )
  3. ∂ f ∂ x = - y 2 - 1 x y - 1 2   e ∂ f ∂ y = - x 2 - 1 x y - 1 2
  4. ∂ f ∂ x = - y 3 x y - 1 2   e ∂ f ∂ y = - x 3 x y - 1 2
  5. ∂ f ∂ x = - y 2 - 1 ( x y - 1 )   e ∂ f ∂ y = - x 2 - 1 x y + 1 2
Resolução
43.

Calcule as derivadas parciais da função f x , y = 3 x 2 + 2 y

  1. ∂ f ∂ x = 6 x 2 e ∂ f ∂ y = 2
  2. ∂ f ∂ x = 3 x e ∂ f ∂ y = 2 y
  3. ∂ f ∂ x = 6 x e ∂ f ∂ y = 2
  4. ∂ f ∂ x = 3 x e ∂ f ∂ y = 2
  5. ∂ f ∂ x = 6 x e ∂ f ∂ y = 2 y
Resolução
44.

Considere a equação F x , y = c o s   ( x - 8 y )   - x e 4 y = 0 que define implicitamente x em função de y . Usando a fórmula d x d y = - F x F y , temos:

  1. d x d y = s e n x - y   +   e 4 y 8   s e n x - 8 y   - x e 4 y  
  2. d x d y = s e n x - 8 y   +   e 4 y 8   s e n x - 8 y   - 4 x e 4 y
  3. d x d y = 8   s e n x - y   +   e 4 y s e n x - 8 y   - 8 x e 4 y
  4. d x d y = s e n x - y   +   e 4 y s e n x - y   - x e 4 y
  5. d x d y = s e n x - 8 y   +   e 4 y 8   s e n x - 8 y   - x e 4 y
Resolução
45.

Considere a função f : R 2 → R dada por

f x , y = x y x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0,0 0 ,   x , y = 0,0

  1. Calcule ∂ f / ∂ x e   ∂ f / ∂ y
  2. f é diferenciável? Justifique.
Resolução
46.

Considere a função u x , y = f x 2 - y 2 , em que z = f t é uma função real de uma variável diferenciável. Verifique se vale a seguinte equação:

y δ u δ x + x δ u δ y = 0

Resolução
47.

Considere a função h x , y = f a x 2 + b y , onde