Enunciado

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Determine o domínio e a imagem para a função abaixo.

f x = 1 2 + e x

Passo 1

A questão é bem direta ao ponto. Precisamos determinar o domínio e a imagem de funções compostas que envolvem funções exponenciais. Antes de começar qualquer coisa, vamos relembrar o que é o domínio e a imagem de uma função:

  • O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de x que satisfazem a nossa f ( x ) . Isto é, faz com que f ( x ) exista;
  • A imagem é o conjunto de todos os valores de f ( x ) , para cada valor de x .

Vamos então identificar quais são as funções que originaram na nossa função de estudo. Isto é, queremos identificar g ( x ) e h ( x ) tais que:

f x = g ∘ h x = g h x

O domínio da nossa f ( x ) será todos os valores de x pertencentes ao domínio da função h tais que, a imagem associada h ( x ) pertencem ao domínio da função g . É por isto que precisamos determinar cada uma das funções. Vamos então para a questão.

Passo 2

Não existe nenhuma metodologia bem definida para identificarmos quais são as funções g e h . Neste momento, precisamos utilizar o nosso feeling, isto é, o sentimento. Pode soar estranho, mas com o decorrer dos seus estudos, vocês vão adquiri-lo. Uma única dica é tentar identificar a função mais interna, que neste caso é a h . Analisando a nossa f ( x ) , podemos ver que:

h x = e x

Consequentemente, se fazemos x = h x = e x , vamos obter a nossa g ( x ) que é:

g x = 1 2 + x

Passo 3

Agora que obtivemos as funções g e h , vamos identificar o domínio e a imagem de cada uma delas. Como a nossa função h x é uma função exponencial, o seu domínio é todos os reais D h = R e a sua imagem é o intervalo ( 0 , ∞ ).

Já a função g ( x ) é uma função racional. Ela só não existe nos pontos x tais que o denominador é igual a zero. Isto é:

2 + x ≠ 0

x ≠ - 2

Portanto, D g = x ∈ R     x ≠ - 2 } , e a sua imagem varia de ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ )

Passo 4

Pela definição descrita no Passo 1, como x = - 2 não pertence a imagem da nossa h ( x ) , o domínio de f x = g ∘ h x = g h x será o domínio da função h ( x ) , isto é:

D f = R

Passo 5

A determinação da imagem é um procedimento mais complicado. Precisamos analisar calmamente o que acontece com a nossa função. O domínio de g ( x ) será a imagem de h ( x ) , portanto, vamos analisar o que acontece quando substituímos alguns valores em g ( x ) . Quando h x → 0 , teremos:

g 0 = 1 2 + 0 = 1 2

É importante ressaltar que g ( x ) nunca será 1 / 2 , visto que h ( x ) nunca será igual a 0 . Já quando h x = 2 , teremos:

g 2 = 1 2 + 2 = 1 4

Quando h x = 8 , teremos:

g 8 = 1 2 + 8 = 1 10

Se continuarmos aumentando o valor de h ( x ) , perceberemos que g x → 0 . Portanto, a imagem de f ( x ) será o conjunto 0 ; 1 2

Resposta

  • Domínio: D f = R  
  • Imagem: ( 0   ,   1 / 2 )

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