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Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço do seu gráfico.

f x = x 2 - 4 ,   s e   x ≠ - 3 - 2 ,   s e   x = - 3

Passo 1

Primeiro vamos definir o domínio, ou seja, os valores de x que estão definidos na função. A função está definida para todos os reais! Ela só muda o comportamento em x = - 3 , mas isso não muda nada em nosso domínio.

Passo 2

A imagem da nossa função precisa de uma percepção um pouquinho mais apurada. Perceba que na primeira condição da função temos x 2 - 4 , e funções quadráticas são sempre não negativas. Então:

x 2 ≥ 0

Subtraindo 4 de ambos os lados:

x 2 - 4 ≥ - 4

Ou seja:

f x ≥ - 4

Mas se lembre que por esse critério precisamos excluir o valor da função em x = - 3 da imagem da função, já que em x = - 3 a função se comporta diferentemente. Fazendo f 3 :

f 3 = 3 2 - 4 = 5

Da 1ª equação temos então a imagem: - 4 ,   5 ∪ 5 ,   + ∞

E da 2ª equação vamos ficar com o único valor que y assume: { - 2 } . Mas esse valor já está incluso na imagem por conta da imagem da 1ª equação. Então a imagem da nossa função fica - 4 ,   5 ∪ 5 ,   + ∞ .

Passo 3

O gráfico será uma parábola deslocada 4 unidades em y com exceção do ponto - 3 ,   5 que será substituído pelo ponto - 3 ,   - 2 . Ficamos com o gráfico:

Resposta

Domínio: - ∞ ,   + ∞

Imagem: - 4 ,   5 ∪ 5 ,   + ∞

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