Enunciado

Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço do seu gráfico.

f x = x 2 - 4 x + 3 x - 1

Passo 1

Essa divisão entre polinômios não está nada amigável para desenhar um gráfico. Vamos tentar simplificar alguma coisa e ficar com uma função mais simples. Lembre que podemos representar uma função quadrática do tipo:

a x 2 + b x + c

Como

a x - x 1 x - x 2

Onde x 1 e x 2 são as raízes do polinômio. Vamos encontrar essas raízes por bhaskara:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores do polinômio do numerador:

x 1,2 = - - 4 ± - 4 2 - 4 1 3 2 1

x 1,2 = 4 ± 4 2

Daí temos as raízes:

x 1 = 3

E

x 2 = 1

Então:

x 2 - 4 x + 3 = x - 3 x - 1

Agora podemos reescrever a f com o numerador fatorado bonitinho:

f x = x - 3 x - 1 x - 1

E simplificando:

f x = x - 3

Nossa f ( x ) não era nada mais do que a equação de uma reta disfarçada! Agora ficou fácil, já sabemos como irá se comportar o domínio, a imagem e o gráfico!

Passo 2

Já sabemos que o domínio e a imagem serão todo o conjunto dos números reais porque a nossa função é um polinômio do 1º grau.

Passo 3

Pra plotar essa função vamos encontrar 2 pontos que satisfaçam a função e depois desenhar a reta que contém esses dois pontos. Vamos fazer f ( 0 ) e f ( 1 ) :

f 0 = 0 - 3 = - 3

f 1 = 1 - 3 = - 2

Temos os dois pontos pertencentes à reta: 0 ,   - 3   e ( 1 ,   - 2 ) . Plotando esses dois pontos no plano cartesiano:

Agora é só desenhar a reta que possui os dois pontos! O gráfico da nossa função é então a reta azul:

Resposta

Domínio: ( - ∞ ,   + ∞ )

Imagem: ( - ∞ ,   + ∞ )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine uma janela de visualização apropriada para a função dada e a utilize para exibir o gráfico da função: y = x 2 - 1
Determine uma janela de visualização apropriada para a função dada e a utilize para exibir o gráfico da função: y = 1 - 1 x + 3
Determine uma janela de visualização apropriada para a função dada e a utilize para exibir o gráfico da função: y = x 2 - x
Determine uma janela de visualização apropriada para a função dada e a utilize para exibir o gráfico da função: y = x + 3 x + 2
Determine uma janela de visualização apropriada para a função dada e a utilize para exibir o gráfico da função: f x = x 2 + 2 x 2 + 1