Enunciado

Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço do seu gráfico.

ϕ x = x + 5 ,   s e   x < - 5 25 - x 2 ,   s e - 5 ≤ x ≤ 5 x - 5 ,   s e   x > 5

Passo 1

Vamos começar verificando os valores que x pode assumir, ou seja, o domínio da nossa função. De acordo com os intervalos, a nossa função está definida para todos os reais, porém temos que verificar aquela raiz quadrada e garantir que:

25 - x 2 ≥ 0

Ou seja:

x 2 ≤ 25

Ou seja:

- 5 ≤ x ≤ 5

Isso até poderia restringir o nosso domínio, porém esses valores de x são os valores para os quais a raiz está definida, então não muda nada. A nossa função está definidíssima para todos os reais: ( - ∞ , + ∞ ) .

Passo 2

Perceba que as duas retas já garantem que nossa função esteja definida todos os reais exceto o valor y = 0 . Mas podemos verificar que esse valor está dentro do intervalo intermediário da função. Vamos tentar satisfazer 25 - x 2 = 0

Temos:

25 - x 2 = 0

Tirando a raiz:

25 - x 2 = 0

Vemos que x = 5 e x = - 5 satisfazem essa equação, ou seja, 0 também faz parte da imagem da nossa função. E com isso definimos a imagem da nossa equação para todos os reais.

Passo 3

E pra fechar a questão precisamos plotar o gráfico da função. Aquela parte intermediária define a equação de uma semicircunferência de raio 5 :

y = 25 - x 2

x 2 + y 2 = 5 2

Então temos uma semicircunferência de raio 5 para os valores de x em - 5 ,   5 . Fora disso teremos duas retas de mesma angulação continuando do fim de cada lado da circunferência, esse jeito:

Resposta

Domínio: ( - ∞ , + ∞ )

Imagem:   ( - ∞ , + ∞ )

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