Enunciado

Determine uma equação da esfera que passa pelo ponto (4, 3, -1) e tem centro (3, 8, 1).

Passo 1

Fala aí, pessoal! Este é um problema de Geometria Analítica. O autor nos dá as coordenadas do centro da esfera e de um ponto por onde ela passa e nos pede uma equação dela. Em nosso livro de Cálculo, nós aprendemos o seguinte:

Equação da Esfera: Uma equação da esfera de centro C ( h ,   k ,   l )   e raio r é:

x - h 2 + y - k 2 + z - l 2 = r 2   ( 1 )

Em particular, se o centro da esfera for a origem do espaço euclidiano, a equação da esfera é dada:

x 2 + y 2 + z 2 = r 2   ( 2 )

Desse modo, para nós resolvermos o problema, nós precisamos encontrar a medida do raio da esfera e, então, substituir o valor encontrado bem como das coordenadas do centro na Equação 1.

Passo 2

O raio   r da esfera é a medida da distância entre seu centro C h , k , l   e qualquer um de seus pontos de coordenadas ( x , y , z ) . A distância entre dois pontos P x 1 , y 1 , z 1 e Q ( x 2 , y 2 , z 2 ) no espaço euclidiano é dada pela seguinte fórmula:

P Q =   x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2

Portanto, o valor de r   da esfera do problema é igual a:

r = P C = 4 - 3 2 + 3 - 8 2 + - 1 - 1 2 = 1 2 + ( - 5 ) 2 + ( - 2 ) 2 =   30

Então r 2 = 30 .

Passo 3

Determinada a medida de r 2 , basta substituirmos o valor encontrado na Equação 1 do Passo 1. Sendo assim, a equação da esfera do problema é igual a:

x - 3 2 + y - 8 2 + z - 1 2 = 30

Resposta

Uma equação da esfera do problema é igual a x - 3 2 + y - 8 2 + z - 1 2 = 30

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