Enunciado

Determine as equações paramétricas e as equações simétricas para a reta.

Passo 1

Vamos ver essa interseção primeiro...

x + 2 y + 3 z = 1 x - y + z = 1

Da primeira a gente tira que:

x = 1 - 2 y - 3 z

E da segunda...

1 - 2 y - 3 z - y + z = 1

- 3 y = 2 z

Se a gente fizer z = 0 , a gente acha y = 0 e x = 1 , então o ponto P = ( 1,0 , 0 ) pertence à essa interseção.

Precisamos de um vetor paralelo a reta agora...

Passo 2

Os vetores dos planos são:

1,2 , 3   e   1 , - 1,1

Esses vetores são perpendiculares aos planos, então se encontrarmos o produto vetorial (que é perpendicular aos dois vetores), encontramos um paralelo à reta...

d e t i j k 1 2 3 1 - 1 1 = i 2 3 - 1 1 + j 1 3 1 1 + k 1 2 1 - 1

5 i - 2 j - 3 k

Achamos o vetor então... 5 , - 2 , - 3 .

Agora é só montar as retas 💪

Passo 3

A paramétrica é só somar o ponto com o vetor multiplicado pelo parâmetro, vamos usar o ponto ( 1,0 , 0 ) e o vetor ( 5 , - 2 , - 3 )

x = 1 + 5 t

y = - 2 t

z = - 3 t

Só isso🤓

Vamos para as simétricas agora...

Pra essa a gente faz:

x - x 0 a = y - y 0 b = z - z 0 c

No nosso caso:

x - 1 5 = y - 0 - 2 = z - 0 - 3  

.

x - 1 5 = - y 2 =   - z 3  

E... pronto🤗

Resposta

x = 1 + 5 t

y = - 2 t

z = - 3 t

&

x - 1 5 = - y 2 =   - z 3  

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