Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.2 - Ex. 37
37. Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
Passo 1
A função que ele nos deu foi:
Inicialmente, vamos verificar se a função é contínua no intervalo em que :
Por ser uma função racional, ela é contínua desde que o denominador seja diferente de zero. Como só é igual a zero quando e esse ponto não faz parte do domínio, a função é contínua nesse intervalo.
Passo 2
Agora temos que verificar se a função tem uma descontinuidade no ponto Para isso, devemos descobrir qual é o limite quando a função se aproxima de .
Se o limite existir e for igual a 1, a função é contínua.
Como a soma de dois quadrados é sempre maior ou igual a zero:
Somando nos dois lados para ficar parecido com o denominador:
Logo,
Multiplicando os dois lados por , temos:
Pelo teorema do confronto:
Assim,
Então o nosso limite deu . Assim,
isso quer dizer que a função não é continua no ponto
Passo 3
Portanto, possui uma descontinuidade no ponto . Assim, o maior conjunto no qual a função é contínua será o intervalo .
Resposta
.