Enunciado

37. Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.

f x , y = x 2 y 3 2 x 2 + y 2                 s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 1                                             s e   x , y = ( 0,0 )

Passo 1

A função que ele nos deu foi:

f x , y = x 2 y 3 2 x 2 + y 2                 s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 1                                             s e   x , y = ( 0,0 )

Inicialmente, vamos verificar se a função é contínua no intervalo em que ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) :

Por ser uma função racional, ela é contínua desde que o denominador seja diferente de zero. Como 2 x 2 + y 2 só é igual a zero quando x , y = ( 0,0 ) e esse ponto não faz parte do domínio, a função é contínua nesse intervalo.

Passo 2

Agora temos que verificar se a função tem uma descontinuidade no ponto 0,0 . Para isso, devemos descobrir qual é o limite quando a função se aproxima de ( 0,0 ) .

Se o limite existir e for igual a 1, a função é contínua.

L = lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 3 2 x 2 + y 2  

Como a soma de dois quadrados é sempre maior ou igual a zero:

x 2 + y 2 ≥ 0

Somando x 2 nos dois lados para ficar parecido com o denominador:

2 x 2 + y 2 ≥ x 2

Logo,

x 2 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Multiplicando os dois lados por | y 3 | , temos:

0 ≤ x 2 y 3 2 x 2 + y 2 ≤ y 3

Pelo teorema do confronto:

0   ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 3 2 x 2 + y 2   ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ y 3

Assim,  

0 ≤ x 2 y 3 2 x 2 + y 2   ≤ 0

Então o nosso limite deu 0 . Assim,

f 0,0 = 1

lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y ) = 0

isso quer dizer que a função não é continua no ponto 0,0 .

Passo 3

Portanto, f ( x , y ) possui uma descontinuidade no ponto ( 0,0 ) . Assim, o maior conjunto no qual a função é contínua será o intervalo { x , y | ( x , y ) ≠ ( 0,0 )   } .

Resposta

{ x , y | ( x , y ) ≠ ( 0,0 )   } .

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26. Calcular lim r → r 0 ⁡ f → x , y , z , dados:c) f → x , y , z = x + y x - y ,x 2 , z ;r 0 → = ( 2,1 , 4)