Enunciado

  1. Determine uma função f tal que F = ∇ f e
  2. Use a parte (a) para calcular ∫ F ⋅ d r sobre a curva C dada.

F x , y , z = ( y 2 z + 2 x z 2 ) i ^ + ( 2 x y z ) j ^ + ( x y 2 + 2 x 2 z ) k ^

C : x = t ,   y = t + 1 ,   z = t 2 ,   0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Vamos separar nosso campo vetorial em três:

f x = y 2 z + 2 x z 2

f y = 2 x y z

f z = x y 2 + 2 x 2 z

A primeira coisa que vamos fazer é integrar f x em relação a x . Assim, temos

f x , y , z = ∫ ( y 2 z + 2 x z 2 )   d x = x y 2 z + 2 x 2 2 z 2 + g ( y , z )

Passo 2

A próxima coisa é derivar a função f ( x , y , z ) em relação a y .

f y = 2 x y z + g y y , z

Sabemos que f y = 2 x y z . Assim, comparando com o valor encontrada acima, temos:

2 x y z = 2 x y z + g y y , z

g y y , z = 0

Se integrarmos g y ( y , z ) em relação a y , temos:

g y , z = 0 + h z

g y , z = h z

Passo 3

Reescrevendo a equação para a fundão f , temos:

f x , y , z = x y 2 z + x 2 z 2 + g ( y , z )

f x , y , z = x y 2 + x 2 z 2 + h z

Vamos derivá-la em relação a z agora.

f z = x y 2 + 2 x 2 z + h ' z

Como temos uma expressão para f z , vamos comparar as duas!

x y 2 + 2 x 2 z + h ' z = x y 2 + 2 x 2 z

h ' z = 0

Integrando a função h ' ( z ) em relação a z , temos:

h z = C

Por fim, reescrevendo a função f :

f x , y , z = x y 2 z + x 2 z 2 + C

Resposta

A função é igual a:

f x , y , z = x y 2 z + x 2 z 2 + C

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Calcule o rotacional. F → x , y , z = x y i → - x 2 j →
Considere o campo de força central g → x , y = f r → r → onde f :R → R é uma função derivável e r → = x i → + y j → . Calcule r o tg → .
Considere o escoamento v → x , y =- y ( x 2 + y 2 ) α i → + x ( x 2 + y 2 ) α j → Onde α0 é uma constante. Verifique que r o tv → x , y ≠ 0 → para α ≠ 1 .
Considere o escoamento bidimensional v → x , y =- y x 2 + y 2 i → + x x 2 + y 2 j → .Desenhe tal campo.Calcule r o tv → e interprete-o.
Seja F → = P i → + Q j → uma campo vetorial de R 2e mR 2 , com PeQ diferenciáveis. Sejam u → = cos ⁡ αi → + s e nαj → e v → = - s e nα i → + cos ⁡ αj → , onde α ≠ 0 é um real dado. Seja s , t as coord