Considere o campo de força central g(x, y) = f(r(r)) r onde f: R -> R é uma função derivável e r = x\*i + y\*j . Calcule rot g.

Passo 1

Escrevendo a função g a gente fica com:

g → x , y = f x 2 + y 2 x i → + y j →

(lembrando que | r → | é a norma de r → )

Desenvolvendo ali, a gente fica com:

g → x , y = x f x 2 + y 2 i → + y f x 2 + y 2 j →

Ok, agora a gente calcula o rotacional normalmente.

Passo 2

Vamos calcular usando a definição de rotacional dessa vez. Usamos a fórmula

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Vamos lá então...

∂ Q ∂ x = f ' x 2 + y 2 + y 2 x 2 + y 2 2 x

= f ' x 2 + y 2 + x y x 2 + y 2

∂ P ∂ y = f ' x 2 + y 2 + x 2 x 2 + y 2 2 y

= f ' x 2 + y 2 + x y x 2 + y 2  

E daí o rotacional é:

r o t   g → =   f ' x 2 + y 2 + x y x 2 + y 2 - f ' x 2 + y 2 + x y x 2 + y 2

r o t   g → = 0

Prontinho!

Resposta

r o t   g → = 0

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