Enunciado

  1. Determine uma função f tal que F → = ∇ f e
  2. Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada.

F → x , y = y 2 1 + x 2 i → + 2 y a r c t g x   j → ,   C : r → t = t 2 ,   2 t , 0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra mostrar que aquela integral independe do caminho precisamos saber se o campo vetorial F → é conservativo.

Mas como? Calma que eu explico!

Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se F → é:

F → = F x i → + F y j →

Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Ok? Vamos aplicar para o campo dado? Bora lá:

∂ F x ∂ y = ∂ y 2 1 + x 2 ∂ y = 2 y 1 + x 2

E também:

∂ F y ∂ x = ∂ 2 y a r c t g ( x ) ∂ x = 2 y 1 + x 2

Beleza! Esse campo vetorial é conservativo! Vamos agora determinar a função potencial associada a ele!

E temos que o valor da integral de caminho vai depender apenas da função potencial aplicada nos pontos final e inicial.

Passo 2

Vamos primeiro pegar uma das parciais, por exemplo ∂ F x / ∂ x e integrar em relação à x :

∫ ∂ F x ∂ x = ∫ ( y 2 1 + x 2 ) d x

Isso vai nos dar a função potencial f mais uma constante só de y , digamos g ( y ) (pois derivando em relação à x ela desaparece, sacou?):

f = y 2 a r c t g ( x ) + g ( y )

Pronto! Essa é a função potencial!

Tá, mas e aquela função de y ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!

Passo 3

Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à y :

∂ f ∂ y = 2 y a r c t g ( x ) + g ' ( y )

Ta, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo 1 a componente y do campo dado:

F y = 2 y a r c t g ( x )

E agora vamos igualar os dois lados!

2 y a r c t g ( x ) = 2 y a r c t g ( x ) + g ' ( y )

Beleza! Agora integrando em relação à y determinamos a função g y :

g ' x = 0

∫ g ' ( y ) d y = ∫ 0 d y = + C

g y = C

Onde C é uma constante qualquer.

Agora sim! Juntando com o resultado do passo 2 temos a função potencial completa:

f = y 2 a r c t g ( x ) + C

Passo 4

Show! Agora temos que o ponto inicial é t = 0 e nesse instante o ponto é:

r → t = t 2 ,   2 t

r → 0 = ( 0,0 )

E a função nesse ponto é:

f 0,0 = C

Show! Agora temos que o ponto final é t = 1 e nesse instante o ponto é:

r → t = t 2 ,   2 t

r → 1 = 1,2

E a função nesse ponto é:

f 1,2 = 4 a r c t g 1 + C

Beleza! Agora sabemos que para um campo conservativo:

∫ C F → ⋅ d r → = f f i n a l - f i n i c i a l = 4 a r c t g 1 + C - C = 4 a r c t g 1 = 4 . π 4 = π

É isso! O valor de ∫ C F → ⋅ d r → é π !

Resposta

( a ) f = y 2 a r c t g ( x ) + C

( b ) ∫ C F → ⋅ d r → = π  

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