Enunciado

Calcular o trabalho realizado pela força

f → = 1 x + 2 , 1 y + 3

Para deslocar uma partícula em linha reta do ponto P ( 3,4 ) até Q = ( - 1,0 ) .

Passo 1

Vamos lá, trabalho a gente calcula usando a integral:

∫ a b F σ t ∙ σ ' t d t

Onde F é a força e σ ( t ) é o caminho parametrizado.

Vamos começar parametrizando a reta que passa por P   e   Q .

P Q - = - 4 , - 4

r : x = 3 - 4 t y = 4 - 4 t ,   t ∈ [ 0,1 ]

Passo 2

Beleza, então σ t = 3 - 4 t ,   4 - 4 t . Derivando então: σ ' t = ( - 4 , - 4 ) .

Vamos aplicar agora na função da força e jogar na fórmula da integral.

∫ 0 1 1 3 - 4 t + 2 ,   1 4 - 4 t + 3 - 4 , - 4 d t  

∫ 0 1 - 4 - 4 t + 5 - 4 - 4 t + 7 d t

Integrando aqui a gente tem:

ln ⁡ 5 - 4 t + ln ⁡ 7 - 4 t 0 1

= ln ⁡ 1 - ln ⁡ 5 + ln ⁡ 3 - ln ⁡ 7

= 0 + ln ⁡ 3 - ( ln ⁡ 5 + ln ⁡ 7 )

= ln ⁡ 3 - ln ⁡ 35

= ln ⁡ 3 35

Prontinho😉

Resposta

ln ⁡ 3 35

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