Enunciado

Determine se o gráfico da equação dada é uma elipse, um ponto ou um conjunto vazio.

2 x 2 + 3 y 2 + 8 x - 6 y + 20 = 0

Passo 1

A questão pede para determinarmos se a equação dada representa uma elipse, um ponto ou um conjunto vazio. O que temos que fazer é completar quadrados para escrever a equação na forma

x - h 2 a 2 + y - k 2 b 2 = H

Se H > 0 , teremos uma elipse; se H = 0 , teremos um ponto; por fim, se H < 0 , teremos um conjunto vazio.

Neste caso, temos 2 x 2 + 3 y 2 + 8 x - 6 y + 20 = 0 .

Passo 2

Olhando para a parte com x :

2 x 2 + 8 x = 2 x 2 + 4 x = 2 x 2 + 4 x + 4 - 4 = 2 x + 2 2 - 8

Agora para a parte com y :

3 y 2 - 6 y = 3 y 2 - 2 y = 3 y 2 - 2 y + 1 - 1 = 3 y - 1 2 - 3

Assim, a equação da elipse será

2 x + 2 2 - 8 + 3 y - 1 2 - 3 + 20 = 0

Portanto,

2 x + 2 2 + 3 y - 1 2 = - 9

Como H < 0 , essa equação representa um conjunto vazio, já que a soma de dois números reais ao quadrado nunca pode ser negativa!

Resposta

Conjunto vazio.

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