Enunciado

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  1. Determine os intervalos abertos em que a função é crescente e aqueles em que ela é decrescente
  2. Identifique os valores extremos absolutos e locais das funções, se houver, indicando onde ocorrem

f θ =   3 θ 2 - 4 θ 3

Passo 1

Primeiramente, necessitamos calcular a derivada d f para encontrar os pontos críticos

f ' θ =   6 θ - 12 θ 2

Igualamos a zero

6 θ - 12 θ 2 = 0

  θ 6 - 12 θ = 0

θ ' = 0

- 12 θ + 6 = 0

θ ' ' = 1 2

Pontos críticos: 0   e 1 2

Passo 2

Agora, vamos fazer o estudo do sinal para verificar onde a função cresce e decresce. Beleza?

Logo,

f   é crescente nos intervalos 0 ,   1 2  

f   é decrescente no intervalo - ∞ , 0 ⋃   1 2 , ∞

Passo 3

Assim, temos que o valor mínimo local de f 0 = 0   no ponto θ = 0   e o valor máximo local em f 1 2 =   1 4   no ponto θ = 1 2 . Não há extremos absolutos.

Resposta

  1. f   é crescente nos intervalos 0 ,   1 2   ; f   é decrescente no intervalo - ∞ , 0 ⋃   1 2 , ∞
  2. O valor mínimo local de f 0 = 0   no ponto θ = 0   e o valor máximo local em f 1 2 =   1 4   no ponto θ = 1 2 . Não há extremos absolutos.

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