Enunciado

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).

f x = 3 x 5 - 5 x 3

Passo 1

Primeiro vamos ter que achar f ' x e analisar seu sinal, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra do polinômio:

x n ' = n x n - 1

Vamos então aplicar:

f ' x = 3 x 5 - 5 x 3 ' = 5 ⋅ 3 x 5 - 1 - 3 ⋅ 5 x 3 - 1 = 15 x 4 - 15 x 2

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f ' x , vamos igualar a expressão a zero:

15 x 4 - 15 x 2 = 0 → 15 x 2 x 2 - 1 = 0 → 15 x 2 x + 1 x - 1 = 0

Vamos analisar o sinal das expressões:

Para x 2 temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 0 e assume valores positivos quando x > 0 .

Para x + 1 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < - 1 e assume valores positivos quando x > - 1 .

Para x - 1 temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 1 e assume valores positivos quando x > 1 .

Passo 3

Vamos lá, agora vamos analisar as três imagens que achamos no passo anterior:

Temos que f ' x > 0 em:

- ∞ , - 1 e 1 , + ∞

E em f ' x < 0 :

- 1,1

Assim:

f é estritamente crescente em - ∞ , - 1 e 1 , + ∞

f é estritamente decrescente em - 1,1

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 5 - 5 x 3 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ 3 x 5 - 5 x 3 = - ∞

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

f é estritamente crescente em - ∞ , - 1 e 1 , + ∞

f é estritamente decrescente em - 1,1

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