Enunciado

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).

f x = e x x

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? Nessa questão primeiro vamos ter que achar f ' x e depois analisar seu sinal.

Vamos começar derivando a nossa função aplicando a regra do quociente,

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Lembrando que,

x n ' = n x n - 1

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

Vamos então aplicar:

f ' x = e x x ' = e x ' x - e x x ' x 2

Derivando,

f ' x = x e x - e x x 0 x 2 = x e x - e x x 2

Ajeitando,

f ' x = e x x - 1 x 2

Agora vamos analisar o sinal!

Passo 2

Repara que o denominador vai ser sempre positivo (pois é um termo ao quadrado), vamos então analisar o numerador igualando ele a zero:

e x x - 1 = 0 → x = 1

Vamos analisar o sinal da expressão:

Para x - 1 temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 1 e assume valores positivos quando x > 1 .

Temos que f ' x > 0 em:

1 , + ∞

Sendo, f é estritamente crescente em 1 , + ∞

E em f ' x < 0 temos um ponto de descontinuidade em 0 , assim:

- ∞ , 0 e 0,1

Assim f é estritamente decrescente em - ∞ , 0 e 0,1

Passo 3

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ e x x = ∞

lim x → - ∞ ⁡ e x x = 0

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

f é estritamente crescente em 1 , + ∞

f é estritamente decrescente em - ∞ , 0 e 0,1

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Suponha que f seja diferenciável em toda parte. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.14.Se f ' for crescente em [ 0 ,1 ] , e f ' for decrescente em [ 1 ,2 ] , ent