Enunciado

Determine uma janela retangular apropriada para a função dada e use-a para fazer o gráfico da função.

f x = x x 2 + 100

Passo 1

Olá, querido amigo. Pronto para mais uma resolução? Aqui precisamos encontrar uma janela retangular apropriada.

As janelas retangulares são áreas retangulares em um plano cartesiano que definem a região onde um gráfico de uma função será exibido. Essas janelas são essenciais para visualizar adequadamente o comportamento de uma função em um intervalo específico de valores de entrada.

A determinação de uma janela retangular apropriada depende das características da função e do que se deseja destacar ou examinar no gráfico. Aqui estão algumas considerações gerais ao encontrar janelas retangulares:

1. Intervalo de Entrada (Eixo x): Determine o intervalo de valores de entrada (eixo x ) que você deseja incluir no gráfico. Isso pode ser feito identificando os pontos críticos da função, como interceptos x , máximos, mínimos e pontos de inflexão.

2. Intervalo de Saída (Eixo y): Considere o intervalo de valores de saída (eixo y ) que serão gerados pela função dentro do intervalo de entrada escolhido. Você pode estimar esse intervalo observando o comportamento geral da função e identificando seus valores extremos.

3. Inclusão de Pontos Críticos: Certifique-se de incluir todos os pontos críticos relevantes da função na janela retangular. Isso pode incluir interceptos x e y , máximos, mínimos e pontos de inflexão.

4. Espaço Adicional: Adicione um espaço adicional em ambos os eixos para garantir que o comportamento da função seja claramente visível. Isso pode ajudar a evitar que a curva da função fique muito próxima das bordas da janela.

Para a nossa função vamos analisar a sua raiz, seu domínio e sua imagem para que possamos analisar melhor qual será nossa janela retangular.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a raiz:

f x = x x 2 + 100

x x 2 + 100 = 0

x = 0

Agora vamos para o domínio.

Em relação ao domínio, temos que:

x 2 + 100 ≠ 0

Como temos um x 2 , no conjunto dos reais nunca teremos

x 2 + 100 = 0

Sendo assim, temos que o domínio é:

D f x = R

f ( - x ) = - f ( x )   →   O gráfico de f ( x ) é simétrico em relação à origem. Como temos o denominador sempre positivo, o sinal da função é determinado pelo numerador.

O alcance de f depende dos valores do numerador g ( x ) e do denominador h ( x ) e como eles estão relacionados quando x está mudando.

Passo 3

A linha vermelha mostra o comportamento do numerador, e a linha azul mostra o comportamento do denominador para todos os valores no domínio de   f   .

Quando x assume valores muito grandes e positivos, a curva azul atinge valores positivos bastante altos em comparação com os valores positivos da linha vermelha. Então, a razão entre g ( x ) e h ( x ) será um valor muito pequeno e positivo no lado direito, o que significa que f ( x ) se aproxima de zero com valores positivos.

Quando x assume valores muito grandes e negativos, a curva azul atinge valores positivos bastante altos em comparação com os valores negativos da linha vermelha. Então, a razão entre g ( x ) e h ( x ) será um valor negativo muito próximo de zero no lado esquerdo, o que significa que f ( x ) se aproxima de zero com valores negativos.

Resposta

Esboço de gráfico.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f x = 1 + c x 2 para vários valores de c . Descreva como a variação de c afeta o gráfico.
Faça o gráfico da elipse 4 x 2 + 2 y 2 = 1 por meio dos gráficos das funções que são a metade superior e inferior da elipse.
Encontre todas as soluções da equação, com duas casas decimais de precisão. x 3 = 4 x - 1
Faça o gráfico da função y = x n2 - x , x ≥ 0 , para n = 1 ,2 ,3 ,4 ,5e6 . Como varia o gráfico com o crescimento de n ?