Enunciado

Determine uma janela retangular apropriada para a função dada e use-a para fazer o gráfico da função.

f x = cos ⁡ ( 0,001 x )

Passo 1

E aí, explorador de funções! Pronto para desvendar os mistérios da "janela retangular"? ️‍

Imagine que o gráfico da função é um mapa enorme e cheio de detalhes. A "janela retangular" é como uma lupa poderosa que você usa para explorar esse mapa.

Com a lupa, você pode escolher quais partes do mapa quer ver de perto, focando em detalhes específicos. Da mesma forma, a janela retangular te permite escolher quais partes do gráfico você quer visualizar na tela da sua calculadora ou computador.

Mas como essa lupa mágica funciona?

A máquina que faz o gráfico da função trabalha como um cartógrafo diligente. Ela marca diversos pontos no mapa, conectando-os para formar o gráfico.

Os pontos são marcados em intervalos regulares, como se a máquina estivesse seguindo uma trilha pré-definida. Essa trilha começa em um ponto X m i n e termina em um ponto X m a x , que você pode escolher para definir a "largura" da sua lupa.

Da mesma forma, você também pode escolher a "altura" da lupa, definindo os pontos Y m i n e Y m a x . Dessa forma, você controla quais valores da função serão mostrados na tela.

Por que escolher a janela certa é importante?

Uma janela mal escolhida pode te levar a conclusões erradas sobre o gráfico da função. ⚠️Se você escolher uma janela retangular muito pequena para o gráfico da função, você pode perder detalhes importantes e ter uma visão distorcida do comportamento da função.

Dicas para escolher a janela ideal:

  • Comece com uma janela ampla para ter uma visão geral da função.
  • Ajuste a janela para focar em áreas de interesse, como pontos de máximo ou mínimo.
  • Experimente diferentes janelas para obter diferentes perspectivas do gráfico.
  • Use o zoom para ampliar áreas específicas do gráfico.
  • Anote os valores de X m i n , X m a x , Y m i n e Y m a x para referência futura.

Com essas dicas, você estará pronto para explorar o mundo das funções com maestria!

Uma forma de encontrarmos a janela retangular é analisarmos o domínio e a imagem da função. E a partir daí encontrarmos os valores X m i n , X m a x , Y m i n e Y m a x . E é isso que iremos fazer aqui.

Passo 2

Então meu amigo, vamos começar analisando a nossa função:

f x = cos ⁡ 0.001 x = cos ⁡ x 1000

f ( x ) resulta da expansão da função básica c o s ( x ) por um fator de 1000 . E isso afeta o período da função, e para a gente, que está buscando entender o comportamento do gráfico a parte de um recorte dele, é interessante estarmos em um intervalo maior que 2 períodos, para melhor visualização e compreensão do gráfico da função.

O período de c o s ( x ) é 2 π , o período de c o s ( 1000 x ) é:

2 π ∙ 1000   =   2000 π   ≈   6283.19

O período nos ajuda a escolhermos o nosso intervalo X m i n ,   X m a x . Em relação a escolha do intervalo de X m i n ,   X m a x , poderemos escolher um intervalo um pouco maior que o seu período, tanto para valores positivo e para negativos de X , pois assim poderemos ver o comportamento do gráfico tanto em - x quanto em + x .

Como a função trigonométrica cos ⁡ x é limitada:

  - 1   ≤   c o s ( 0.001 x )   ≤   1

Já temos um intervalo superior a escolher, para melhor visualização devemos tomar então como limitantes Y m i n ,   Y m a x valores um pouco maiores que [ - 1,1 ] .

Passo 3

De início, vamos tomar a janela - 7000 ,   7000   X   [ - 1.5 ,   1.5 ] . Como momentado, ambos os intervalos maiores que os valores que encontramos.

No gráfico podemos ver todas as características da função, seus limitantes superiores e inferiores além da sua periodicidade. Então a janela que escolhemos é satisfatória.

É isso, um forte abraço e até a próxima.

Resposta

Esboço de gráfico.

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Determine uma janela retangular apropriada para a função dada e use-a para fazer o gráfico da função. f x = 81 - x 4 4