Enunciado

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

20-

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x y + y z + z x x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

Substituindo o ponto ( 0 , 0,0 ) nós encontramos a indeterminação 0 0 o que faz com que tenhamos que encontrar outra forma de resolver esse limite. Uma forma de resolver esse exercício é separar esse limite de três variáveis em três limites de duas variáveis, da seguinte forma:

lim x , y , z → x , 0,0 ⁡ x y + y z + z x x 2 + y 2 + z 2

lim x , y , z → 0 , y , 0 ⁡ x y + y z + z x x 2 + y 2 + z 2

lim x , y , z → 0,0 , z ⁡ x y + y z + z x x 2 + y 2 + z 2

Pois os três limites terão que convergir para o mesmo valor para que a função seja contínua. Se um limite der diferente do outro nós não teremos nenhum limite

Além

Passo 2

Para o primeiro limite vamos ter:

lim x , y , z → x , 0,0 ⁡ x y + y z + z x x 2 + y 2 + z 2 = 0 x 2 = 0

lim x , y , z → 0 , y , 0 ⁡ x y + y z + z x x 2 + y 2 + z 2 = 0 y 2 = 0

lim x , y , z → 0,0 , z ⁡ x y + y z + z x x 2 + y 2 + z 2 = 0 z 2 = 0

Isso nos dá uma noção de que o limite parece tender a zero no ponto dado, mas vamos fazer um outro limite que vai desprovar isso.

lim x , y , z → x , x , x ⁡ x y + y z + z x x 2 + y 2 + z 2 = 3 x 2 3 x 2

Com x tendendo a zero também teremos a indeterminação 0 0 porém se fizermos L’Hopital duas vezes nessa função nós encontraremos:

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 3 x 2 = lim x → 0 ⁡ 6 x 6 x = lim x → 0 ⁡ 6 6 = 1

Que é um valor diferente de 0 . Logo a função é descontínua nesse ponto não tendo limite nesse ponto.

Resposta

Não existe limite nesse ponto.

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