Enunciado

35. Determine o limite infinito.

lim x → 5 + ⁡ ln ⁡ ( x 2 - 25 )

Passo 1

Falaí pessoalzinho!

Gente, esse enunciado é meio estranho! Ele já nos diz que o limite é infinito, então não é isso que queremos focar em discutir.

O nosso objetivo aqui é entender o sinal desse resultado, se vai ser infinito positivo ou negativo.

E pra isso, precisamos reparar nesse sinalzinho de + que aparece na nossa expressão

lim x → 5 + ⁡ ln ⁡ ( x 2 - 25 )

Isso é uma nomenclatura de limites laterais. Significa que estamos considerando que x tende a 5 somente por um lado. No caso, como o sinal é de positivo, estamos nos aproximando de x   pela direita, ou seja, por valores maiores que 5.

Então vamos calcular considerando isso!

Passo 2

Primeiro vamos associar o argumento do ln ⁡   a uma única variável:

t = x 2 - 25

Então quando x → 5 + , t → 0 +

Podemos escrever então que:

lim x → 5 + ⁡ ln ⁡ ( x 2 - 25 ) = lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ t

Agora se analisarmos o comportamento de ln ⁡ t para valores muito pequenos, proximos de zero, vemos que a função também decresce pra valores muiiito pequenos:

Ou seja, o limite será infinito, porém para valores negativos:

lim x → 5 + ⁡ ln ⁡ ( x 2 - 25 ) = lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ t = - ∞

Resposta

lim x → 5 + ⁡ ln ⁡ ( x 2 - 25 ) = - ∞

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