Determine o limite:

lim x → ∞ ⁡ ( ln ⁡ x ) 1 x

Passo 1

O limite resulta em uma indeterminação da forma ∞ 0 .

Para fugir da indeterminação, vamos fazer f x = ln ⁡ x 1 x . Agora vamos fazer o logaritmo dos dois lados:

ln ⁡ ( f x ) = ln ⁡ ( ln ⁡ x ) 1 x

Isso resulta em: ln ⁡ f ( x ) = ln ⁡ ln ⁡ x x

Agora temos:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ f ( x ) = l i m x → ∞ ln ⁡ ln ⁡ x x  

Passo 2

Agora vamos aplicar L’Hôpital, derivando a função de cima e a de baixo...

l i m x → ∞ ln ⁡ ln ⁡ x x =   l i m x → ∞ 1 x ln ⁡ x 1 = 0 1 = 0

Então, lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ f ( x ) = 0 , elevando os dois lados à exponencial...

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ f ( x ) = 0   lim x → ∞ ⁡ e l n f x = e 0

l i m x → ∞ f x = 1

E encontramos o limite procurado😉

Resposta

lim x → ∞ ⁡ ( ln ⁡ x ) 1 x = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados