Enunciado

Encontre todos os valores de k e l tais que:

underset(x -> 0)(l i m) (k + cos l x)/(x^2) = - 4

Passo 1

O primeiro passo seria aplicarmos 0 em x e verificar que valor, em tese, o limite valeria. Teríamos:

underset(x -> 0)(l i m) (k + cos l x)/(x^2) = (k + cos l * 0)/(0^2) = (k + 1)/(0) = oo

Nesse caso, o limite não existiria. Então fica claro que pra calcular esse limite, independentemente dos valores das constantes k e l , alguma manipulação precisa ser trabalhada na função.

A mais clássica e prática pra funções quocientes é a regra de L’Hôpital. Mas a regra só pode ser aplicada nos casos de indeterminação do tipo (0)/(0) ou (oo)/(oo) .

Passo 2

Assim, vamos manipular a nossa função de forma que possamos aplicar L’Hôpital nela. Como, com x tendendo a zero, o denominador vai zerar de qualquer forma, vamos fazer o numerador também zerar, e aí sim, poderemos aplicar a regra.

Ou seja, vamos fazer com que:

k + cos l x = 0

Isso, com x tendendo a zero, certo? Ao aplicarmos 0 em x , o cosseno vai a 1, e teremos:

k + 1 = 0

Nisso, já concluímos o valor de k , que é k = - 1 . Partindo daí, considerado esse o valor de k aplicamos L’Hopital, derivando numerador e denominador da função original.

Passo 3

Derivando (usando a regra da cadeia no numerador), teremos:

underset(x -> 0)(l i m) (- 1 + cos l x)/(x^2) = underset(x -> 0)(l i m) (- l * sen l x)/(2 x)

Aqui, mais uma vez, se aplicamos 0 em x , ainda não saímos da indeterminação (0)/(0) , pois seno de zero é zero, e o x no denominador vai zerá-lo também.

Assim, aplicamos de novo a regra, derivando em cima e embaixo outra vez. Vamos ter:

underset(x -> 0)(l i m) (- l * sen l x)/(2 x) = underset(x -> 0)(l i m) (- l^2 * cos l x)/(2)

Agora já podemos aplicar direto 0 em x sem o problema de indeterminações. Lembrando que esse limite vale - 4 , como está no enunciado. Assim:

underset(x -> 0)(l i m) (- l^2 * cos l x)/(2) = - 4

Teremos:

(l^2 * cos l * 0)/(2) = 4

(l^2 * 1)/(2) = 4

l^2 = 8

l = +- 2 sqrt(2)

Assim, são esses os possíveis valores pra k e l .

Resposta

k = - 1 e l = +- 2 sqrt(2)

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