Determine o limite:

lim x → 0 ⁡ ( e x + x ) 1 x

Passo 1

O limite resulta em uma indeterminação da forma   1 ∞ .

Para fugir da indeterminação, vamos fazer f x = e x + x 1 x   . Agora vamos fazer o logaritmo dos dois lados:

ln ⁡ ( f x ) = ln ⁡ e x + x 1 x  

Isso resulta em: ln ⁡ f ( x ) = ln ⁡ ( e x + x ) x

Então...

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ f ( x )   = l i m x → 0 ln ⁡ ( e x + x ) x  

Passo 2

Agora, vamos aplicar a regra de L´Hôpital e derivar a função de cima e a de baixo...

l i m x → 0 ln ⁡ ( e x + x ) x = l i m x → 0 1 e x + x e x + 1 1 = l i m x → 0 e x + 1 e x + x = 1 + 1 1 + 0 = 2

Bom, então l i m x → 0 ln ⁡ f ( x ) = 2

Vamos usar a exponencial dos dois lados então...

l i m x → 0 e ln ⁡ f x = e 2

l i m x → 0 f x = e 2

E encontramos o limite procurado😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ ( e x + x ) 1 x = e 2

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