Determine o limite:

lim x → 0 + ⁡ x x

Passo 1

O limite resulta em uma indeterminação da forma   0 0 .

Para fugir da indeterminação, vamos fazer f x = x x . Agora vamos fazer o logaritmo dos dois lados:

ln ⁡ ( f x ) = ln ⁡ x x  

Isso resulta em: ln ⁡ f ( x ) = x ln ⁡ x

Então...

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ f ( x )   = l i m x → 0     x ln ⁡ x

E vamos reescrever como: l i m x → 0   ln ⁡ x 1 x para ficarmos com um quociente e aplicarmos a regra de L’Hôpital...

Passo 2

Agora, vamos aplicar a regra de L´Hôpital e derivar a função de cima e a de baixo...

l i m x → 0   ln ⁡ x 1 x = l i m x → 0   1 x - 1 x 2 =   l i m x → 0 - x 2 x =   l i m x → 0 - x = 0  

Bom, então l i m x → 0 ln ⁡ f ( x ) = 0

Vamos usar a exponencial dos dois lados então...

l i m x → 0 e ln ⁡ f x = e 0

l i m x → 0 f x = 1

E encontramos o limite procurado😉

Resposta

lim x → 0 + ⁡ x x = 1

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