Determine o limite:

lim x → e + ⁡ ( ln ⁡ x ) 1 x - e

Passo 1

O limite resulta em uma indeterminação da forma 1 ∞ .

Para fugir da indeterminação, vamos fazer f x = ln ⁡ x 1 x - e . Agora vamos fazer o logaritmo dos dois lados:

ln ⁡ ( f x ) = ln ⁡ ( ln ⁡ x ) 1 x - e

Isso resulta em: ln ⁡ f ( x ) = ln ⁡ ln ⁡ x x - e

Agora temos:

lim x → e + ⁡ ln ⁡ f ( x ) = l i m x → e + ln ⁡ ln ⁡ x x - e  

Passo 2

Agora vamos aplicar L’Hôpital, derivando a função de cima e a de baixo...

l i m x → e + ln ⁡ ln ⁡ x x - e =   l i m x → e + 1 x ln ⁡ x 1 = 1 e 1 = 1 e

Então, lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ f ( x ) = 1 e   , elevando os dois lados à exponencial...

lim x → e + ⁡ ln ⁡ f ( x ) = 1 e   lim x → e + ⁡ e l n f x = e 1 e

l i m x → ∞ f x = e 1 e

E encontramos o limite procurado😉

Resposta

lim x → e + ⁡ ( ln ⁡ x ) 1 x - e = e 1 e

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