Determine o limite:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x 1 2 ln ⁡ x  

Passo 1

O limite resulta em uma indeterminação da forma   ∞ 0 .

Para fugir da indeterminação, vamos fazer f x = 1 + 2 x 1 2 ln ⁡ x   . Agora vamos fazer o logaritmo dos dois lados:

ln ⁡ ( f x ) = ln ⁡ 1 + 2 x 1 2 ln ⁡ x  

Isso resulta em: ln ⁡ f ( x ) = ln ⁡ ( 1 + 2 x ) 2 ln ⁡ x

Então...

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ f ( x )   = l i m x → ∞ ln ⁡ ( 1 + 2 x ) 2 ln ⁡ x  

Passo 2

Agora, vamos aplicar a regra de L´Hôpital e derivar a função de cima e a de baixo...

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ f ( x ) = l i m x → ∞ ln ⁡ ( 1 + 2 x ) 2 ln ⁡ x = l i m x → ∞ x 1 + 2 x   = 1 2

Bom, então l i m x → ∞ ln ⁡ f ( x ) = 1 2

Vamos usar a exponencial dos dois lados então...

l i m x → ∞ e ln ⁡ f x = e 1 2

l i m x → ∞ f x = e

E encontramos o limite procurado😉

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x 1 2 ln ⁡ x   = e

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