Enunciado

Determine o limite QUOTE _x0001_

Passo 1

Antes de calcularmos o limite, vamos analisar a função que está em jogo, certo ?

Temos a função QUOTE _x0001_

Se olharmos para o numerador da função, temos uma variação da função seno. Vamos analisar o gráfico dessa função, beleza?

Olhando bem rapidinho, dá pra ver que a função cosseno, varia entre QUOTE _x0001_. Isso significa dizer que

Mais ainda, QUOTE _x0001_ significa dizer que

Se você parar pra fuçar a memória, vai lembrar de uma parada em que calculamos o limite entre desigualdades... lembrou? O nome dessa bagaça é Teorema do confronto, ou teorema do sanduiche, que é onde uma função fica apertada por outras duas como a carne de hamburguer fica entre o pão e ai é só aplicar o limite em todas as desigualdades, né? .

Mas e aí? Cabou? Já podemos aplicar o limite ?

Passo 2

Não! A função que temos que calcular o limite é QUOTE _x0001_, então falta uma parte, beleza ?

A gente pode fazer ela aparecer, é só multiplicar o que a gente precisa aqui ó:

Então é só isso? Não, véi. Tem que parar mais uma vez. É, eu sei... já bem longa essa questão, até eu já tô sem paciência, mas vamos respirar fundo pra gente fazer o negócio direitinho, belezal ?

Passo 3

Você já sacou que tem que multiplicar QUOTE _x0001_ por todo mundo ali em cima e aplicar o limite mas... não sabemos qual o sinal dessa coisa, então vamos ver dois casos

Como QUOTE _x0001_

A desigualdade vai inverter, ou seja,

Então, vamo lá, podemos passar o limite agora e nossa conta fica assim:

E aí, cabe a nós, meros mortais sabermos que que acontece com esses caras aqui:

QUOTE _x0001_

Tá ligado que esse limites são zero ne? Sabe, o motivo?

Isso acontece porque quando fazemos QUOTE _x0001_, estamos fazendo uma divisão do 1 por valores cada vez maiores e então o resultado da divisão é cada vez menor. Por exemplo se tivéssemos 1 real para dividir entre 2 pessoas, o valor seria razoável, mas e se fosse pra 100? Para mil? Percebeu?

Então, por isso

E como

Então, finalmente podemos concluir alguma coisa sobre o limite nesse primeiro caso... Já que

E

Pelo teorema do Confronto/ Sanduiche,

QUOTE _x0001_

A ideia é que assim, como o pão na chapa aperta a carne de hamburguer, as duas funções d aponta apertam a do meio e faz o limite dela ir pro mesmo canto.

Resposta

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