Enunciado

Use o método no Exemplo 4a para calcular as integrais definidas nos Exercícios 63-70.

66. ∫ - 1 0 ( x - x 2 ) d x

Passo 1

Então pessoal, para estimarmos o valor dessa integral definida como um limite de uma soma de Riemann, precisamos, assim como discutido na seção 3 do George, definir partições P que subdividem o intervalo [ a ,   b ] em n subintervalos de largura igual a:

∆ x = b - a n

∆ x = 0 - ( - 1 ) n = 1 n

Se fizermos as partições, teremos:

P = - 1 ,   - 1 + 1 n ,   - 1 + 2 1 n ,   …   ,   - 1 + n 1 n

Sendo assim, temos:

c k = - 1 + k n

Passo 2

Agora que já descobrimos as partições e o valor de c k , basta substituirmos na soma de Riemann, que é a seguinte:

S n = ∑ k = 1 n f c k . ∆ x

Substituindo os valores encontrados, teremos:

S n = ∑ k = 1 n - 1 + k n - - 1 + k n 2 . 1 n

Aqui só precisamos utilizar matemática elementar, tudo bem? Fazendo as devidas simplificações e lembrando que a somatória está em função de k , teremos:

S n = 1 n ∑ k = 1 n - 1 + k n - 1 + 2 k n - k ² n ²

S n = 1 n - 2 ∑ k = 1 n 1 + 3 n ∑ k = 1 n k - 1 n 2 ∑ k = 1 n k 2

A somatória dos n primeiros números naturais positivos é:

S = n . ( n + 1 ) 2

Além disso, a somatória dos quadrados dos n primeiros números naturais positivos é:

S = n . n + 1 . ( 2 n + 1 ) 6

Substituindo na somatória, teremos:

S n = - 1 n . 2 n + 3 n 2 . n . n + 1 2 - 1 n 3 . n . n + 1 . ( 2 n + 1 ) 6

S n = - 2 + 3 2 n + 1 2 n - n + 1 . ( 2 n + 1 ) 6 n ²

Passo 3

Agora que determinamos o valor da somatória, temos que à medida que n → ∞ e P → 0 , a expressão da somatória tem o seguinte limite:

S n = - 2 + 3 2 - 1 3 = - 5 6

∴ ∫ - 1 0 ( x - x 2 ) d x = - 5 6

Resposta

∫ - 1 0 ( x - x 2 ) d x = - 5 6

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