Determine o limite a seguir

lim x → 0 ⁡ x - x   c o s   x s e n 2   3 x      

Passo 1

Já sabemos que

lim θ → 0 ⁡ s e n   θ θ = lim θ → 0 ⁡ θ s e n   θ = 1

Precisamos encontrar uma expressão parecida com essa então...

Primeiramente, vamos isolar o x no numerador

lim x → 0 ⁡ x - x   c o s   x s e n 2   3 x = lim x → 0 ⁡ x ( 1 - c o s   x ) s e n 2   3 x      

Agora, vamos dividir o numerador e o denominador por 9 x 2 , isso vai nos ajudar a usar o limite que já conhecemos... Observa só

lim x → 0 ⁡ x 1 - cos ⁡ x s e n 2   3 x = lim x → 0 ⁡ x 1 - cos ⁡ x 9 x 2 s e n 2   3 x 9 x 2 = l i m x → 0 x 1 - cos ⁡ x 9 x 2 l i m x → 0 s e n 2   3 x 9 x 2 = l i m x → 0 1 - cos ⁡ x 9 x l i m x → 0 s e n   3 x 3 x 2 = 1 9   l i m x → 0 1 - cos ⁡ x x l i m x → 0 s e n   3 x 3 x 2

Ou seja

1 9   l i m x → 0 ( 1 - c o s   x ) x l i m x → 0 s e n   3 x 3 x 2 = 1 9   ( 0 ) 1 2 = 0

Resposta

0

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