Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.6 - Ex. 58
(a) Determine, mas não calcule, a integral dupla da área da superfície com as equações paramétricas
(b) Elimine os parâmetros para mostrar que a superfície é um paraboloide elíptico e escreva outra integral dupla que forneça sua área.
(c) Use as equações paramétricas da parte (a) com e para traçar o gráfico da superfície.
(d) Para o caso use um sistema de computação algébrica para achar a área da superfície com precisão de quatro casas decimais.
Passo 1
(a) Galera, a gente tem , então:
Portanto, podemos escrever a integral dupla da área da superfície assim:
Passo 2
(b) Perceba o seguinte:
Ou seja, a superfície é um paraboloide elíptico, e
Passo 3
Então, podemos ver a superfície como o gráfico de uma função , e aí a área da superfície seria dada pela fórmula:
onde seria a região . Ou seja, podemos escrever a integral assim:
Passo 4
(c) Agora vamos usar as equações paramétricas com e para traçar o gráfico da superfície:
Passo 5
(d) Substituindo e na integral que obtivemos no item (a), e utizando um CAS para estimar a integral, teremos:
Resposta
(a)
(b)
(d)