Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S   ( x 2 + y 2 + z 2 )   d S

S é a parte do cilindro y 2 + z 2 = 9 entre os planos z = 0 e z = 2 , juntamente com os discos do fundo e do topo

Passo 1

Galera, nesse caso, S será composta de três superfícies. Vamos chamar de S 1 a superfície lateral do cilindro. Nesse caso, teremos:

r θ ,   z = 3 cos ⁡ θ i + 3   s e n   θ   j + z   k   ,           0 ≤ θ ≤ 2 π   ,       0 ≤ z ≤ 2

r θ × r z = 3

Então,

∫ ∫ S 1   ( x 2 + y 2 + z 2 )   d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 9 + z 2 3   d z   d θ = 3 2 π 9 z + z 3 3 0 2 = 6 π 18 + 8 3 = 124 π

Passo 2

Agora vamos considerar a superfície S 2 , o disco do topo:

r θ ,   r = r cos ⁡ θ i + r   s e n   θ   j + 2   k   ,           0 ≤ r ≤ 3   ,       0 ≤ θ ≤ 2 π

r θ × r r = r

Então,

∫ ∫ S 2   ( x 2 + y 2 + z 2 )   d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 2 + 4 r   d r   d θ = 2 π r 4 4 + 2 r 2 0 3 = 2 π 81 4 + 18 = 153 2 π

Passo 3

Por último, vamos considerar a superfície S 2 , o disco do fundo:

r θ ,   r = r cos ⁡ θ i + r   s e n   θ   j + 0   k   ,           0 ≤ r ≤ 3   ,       0 ≤ θ ≤ 2 π

r θ × r r = r

Então,

∫ ∫ S 3   ( x 2 + y 2 + z 2 )   d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 2 + 0 r   d r   d θ = 2 π r 4 4 0 3 = 2 π 81 4 = 81 2 π

Passo 4

Finalmente, podemos calcular a integral que queremos:

∫ ∫ S   ( x 2 + y 2 + z 2 )   d S = ∫ ∫ S 1   ( x 2 + y 2 + z 2 )   d S + ∫ ∫ S 2   ( x 2 + y 2 + z 2 )   d S + ∫ ∫ S 3   ( x 2 + y 2 + z 2 )   d S = 124 π + 153 2 π + 81 2 π = 241 π

Resposta

241 π

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Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: c )f x , y , z = x 2 + y 2 ;σ u , v = u , v ,u 2 + v 2 ,u 2 + v 2 ≤ 1 .
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: f x , y , z = x y ;σ u , v = u - v , u +v ,2 u + v + 1 ,0 ≤ u ≤ 1e0 ≤ v ≤ u .
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: d )f x , y , z = y ;σ u , v = u , v , 1 - u 2 ,0 ≤ u ≤ 1 ; 0 ≤ v ≤ u .
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: d )f x , y , z = x 2 + y 2 ;σ a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,z ≥ 1 . (Fica entendido aqui que σ é a parametrização mais “natural” do conjunto dado).
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: g )f x , y , z = x ;σ é a parte da superfície z 2 = x 2 + y 2 situada entre os planos z = 1ez = 3 .