Enunciado

Determine se os pontos P e Q estão na superfície dada

vec r (u , v) = 〈u + v , u^2 - v , u + v^2〉

P (3 , - 1,5) , Q ( - 1,3 , 4 )

Passo 1

Olá, tudo bem? Para saber se um ponto pertence àquela superfície, é preciso igualar as componentes e os valores encontrados devem satisfazer a todas as equações. Dessa forma ó:

{[[x = u + v],[y = u^2 - v],[z = u + v^2]])

Vamos testar o ponto P ( 3 , - 1,5 ) :

{[[3 = u + v],[- 1 = u^2 - v],[5 = u + v^2]])

Ficamos com um sistema de três equações e duas variáveis. Já aprendemos diversas formas de resolver um sistema, seja por adição, por substituição ou qualquer outro método. Aqui você pode resolver da forma que achar melhor. Eu vou escolher por substituição.

Isolando v na primeira equação:

v = 3 - u

Substituindo na segunda equação:

- 1 = u^2 - ( 3 - u )

Ficamos com uma expressão apenas em u , e podemos resolver por fórmula de Bháskara:

u^2 + u - 2 = 0

u = (- 1 +- sqrt(1^2 - 4 . 1 . ( - 2 )))/(2 . 1)

u = (- 1 +- 3)/(2)

Então u admite os valores de u = 1 e - 2 . Agora vamos substituir na primeira equação e determinar os valores correspondentes de v :

3 = 1 + v

v = 2

E o outro:

3 = - 2 + v

v = 5

Então o conjunto de pontos ( u , v ) são: ( 1,2 ) e (- 2,5) . Agora esses valores devem satisfazer a terceira equação também. Sendo assim, vamos testar os dois conjuntos de pontos. Para (1,2) :

5 = u + v^2

5 = 1 + (2)^2

5 = 5 C O R R E T O !

Esse ponto pertence à superfície!

Para (- 2,5) :

5 = u + v^2

5 = - 2 + (5)^2

5 = 23 E R R A D O !

Esse conjunto de valores não satisfaz! Então a raiz negativa de u não satisfaz todas as três equações. Portanto o ponto P pertence à superfície.

Passo 2

Vamos testar o ponto Q ( - 1 , 3,4 ) :

{[[- 1 = u + v],[3 = u^2 - v],[4 = u + v^2]])

Resolvendo por substituição: isolando v na primeira equação:

v = - 1 - u

Substituindo na segunda equação:

3 = u^2 - ( - 1 - u )

Ficamos com uma expressão apenas em u , e podemos resolver por fórmula de Bháskara:

u^2 + u - 2 = 0

u = (- 1 +- sqrt(1^2 - 4 . 1 . ( - 2 )))/(2 . 1)

u = (- 1 +- 3)/(2)

Então u admite os valores de u = 1 e - 2 . Agora vamos substituir na primeira equação e determinar os valores correspondentes de v :

Para u = 1 :

- 1 = u + v

v = - 1 - u

v = - 1 - 1 = - 2

E para u = - 2 :

v = - 1 - u

v = - 1 - (- 2) = 1

Então o conjunto de pontos ( u , v ) são: ( 1 , - 2 ) e (- 2,1) . Agora esses valores devem satisfazer a terceira equação também. Sendo assim, vamos testar os dois conjuntos de pontos.

Para (1 , - 2) :

4 = u + v^2

4 = 1 + (- 2)^2

4 = 5 E r r a d o ! !

Para (- 2,1) :

4 = u + v^2

4 = - 2 + (1)^2

4 = - 1 E r r a d o ! ! !

Esse ponto não pertence à superfície!

Resposta

P p e r t e n c e ; Q n ã o p e r t e n c e

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 21 a 45, escrever uma representação paramétrica para a superfície dada.42) Parte do paraboloide z = x 2 + y 2 - 1 , que está estre os planos z = 0 e z = 3 .
Nos exercícios 21 a 45, escrever uma representação paramétrica para a superfície dada.45) Parte do plano y + z = 8 , delimitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 4 .
Nos exercícios 21 a 45, escrever uma representação paramétrica para a superfície dada.44) Parte do plano 2 x + 3 y = 9 , delimitado pelos planos coordenados x = 0 e y = 0 .
Nos exercícios 1 a 7, a equação dada é uma representação implícita de uma superfície S.Identificar a superfície.Escrever algumas representações explícitas de partes de S, representando graficamente. 2
Nos exercícios 1 a 7, a equação dada é uma representação implícita de uma superfície S.Identificar a superfície.Escrever algumas representações explícitas de partes de S, representando graficamente. 2