Enunciado

Determine se os pontos P e Q estão na superfície dada.

r (u , v) = (1 + u - v , u + v^2 , u^2 - v^2)

P (1 , 2 , 1) , Q ( 2 , 3 , 3 )

Passo 1

Pessoal, precisamos determinar se os pontos dados estão na superfície indicada por r ( u , v ) , certo? Comecemos por P . Uma maneira de sabermos se o ponto faz parte da superfície é igualando suas coordenadas com as coordenadas da superfície. Assim, precisamos resolver o seguinte sistema de equações:

{[[1 + u - v = 1],[u + v^2 = 2],[u^2 - v^2 = 1]])

{[[u = v],[u + v^2 = 2],[u^2 - v^2 = 1]])

Vamos substituir a primeira equação na terceira:

u^2 - u^2 = 1

0 = 1

De cara já encontramos um resultado impossível para esse sistema, mostrando assim que P não está na superfície.

Passo 2

Para o ponto Q a abordagem é a mesma. Vamos montar o sistema de equações e descobrir os valores para u e v .

{[[1 + u - v = 2],[u + v^2 = 3],[u^2 - v^2 = 3]])

{[[u - v = 1],[u + v^2 = 3],[u^2 - v^2 = 3]])

Da primeira equação podemos tirar que u = 1 + v . Substituindo na segunda, teremos:

{[[v^2 + v + 1 = 3],[u^2 - v^2 = 3]]) -> {[[v^2 + v = 2],[u^2 - v^2 = 3]])

Da equação v^2 + v - 2 = 0 , podemos tirar os seguintes resultados:

v = (- 1 +- 3)/(2)

v_1 = 1 o u v = - 2

Vamos agora substituir esses valores de v na primeira equação para encontrar u . Quando v = 1 -> u = 2 ou v = - 2 -> u = - 1 . A terceira equação do sistema é satisfeita para os valores u = 2 e v = 1 .

(2)^2 - (1)^2 = 3

4 - 1 = 3

3 = 3

Logo, o ponto Q está na superfície.

Resposta

O ponto P não está na superfície e o ponto Q está na superfície.

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