Enunciado

Nos exercícios 21 a 45, escrever uma representação paramétrica para a superfície dada

Parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 36 , tal que x ≥ 0 e y ≤ 0

Passo 1

x 2 + y 2 + z 2 = 36

x ≥ 0 e y ≤ 0

Esta é a equação de uma esfera centralizada na origem e raio a = 6

Pela equação paramétrica da esfera:

r → ( u , v ) e s f e r a   n a o r i g e m = a cos ⁡ v cos ⁡ u i → + a cos ⁡ v sen ⁡ u j → + a sen ⁡ v k →

Os limites máximos são: 0 ≤ u ≤ 2 π e - π 2 ≤ v ≤ π 2

Aplicando o valor do raio:

r → ( u , v ) = 6 cos ⁡ v cos ⁡ u i → + 6 cos ⁡ v sen ⁡ u j → + 6 sen ⁡ v k →

As componentes são:

x = 6 cos ⁡ v cos ⁡ u

y = 6 cos ⁡ v sen ⁡ u

z = 6 sen ⁡ v k →

Passo 2

Vamos definir os limites de acordo com as inequações dadas. Mas primeiro, precisamos perceber que no intervalo - π 2 ≤ v ≤ π 2 o cos ⁡ v é sempre maior do que zero.

Passo 3

Então, considerando os limites de x :

x ( u , v ) > 0

6 cos ⁡ v cos ⁡ u > 0

cos ⁡ v cos ⁡ u > 0

Como o cos ⁡ v é sempre maior do que zero, então para a expressão acima ser verdade temos:

cos ⁡ u > 0

Chegamos em dois intervalos:

0 < u < π 2

3 π 2 < u < 2 π

Passo 4

Considerando os limites de y :

y u , v < 0

6 cos ⁡ v sen ⁡ u < 0

cos ⁡ v sen ⁡ u < 0

Como o cos ⁡ v é sempre maior do que zero, então para a expressão acima ser verdade temos:

sen ⁡ u < 0

π < u < 2 π

Passo 5

Considerando os intervalos:

0 < u < π 2 e 3 π 2 < u < 2 π

π < u < 2 π

A interseção entre eles é:

3 π 2 < u < 2 π

Resposta

x = 6 cos ⁡ v cos ⁡ u

y = 6 cos ⁡ v sen ⁡ u

z = 6 sen ⁡ v k →

- π 2 ≤ v ≤ π 2

3 π 2 < u < 2 π

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