Enunciado

Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b .

a = 2 i + j - k ,     b = j + 2 k

Passo 1

Precisamos calcular um produto vetorial. Para isto, basta calcular o determinante da matriz abaixo:

a × b = i j k 2 1 - 1 0 1 2

a × b = 1 ⋅ 2 - 1 ⋅ - 1 i + - 1 ⋅ 0 - 2 ⋅ 2 j + 2 ⋅ 1 - 0 ⋅ 1 k

a × b = 2 + 1 i + 0 - 4 j + 2 - 0 k

a × b = 3 i - 4 j + 2 k

Pronto! Conseguimos determinar o produto vetorial a × b !

Passo 2

Para checarmos ortogonalidade entre vetores, basta fazermos o produto interno e verificar que ele é igual a 0. Portanto,

a ⋅ a × b = 2 i + j - k ⋅ 3 i - 4 j + 2 k

a ⋅ a × b = 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ - 4 + - 1 ⋅ 2

a ⋅ a × b = 6 - 4 - 2 = 0

Já para o vetor b , temos:

b ⋅ a × b = j + 2 k ⋅ 3 i - 4 j + 2 k

b ⋅ a × b = 0 ⋅ 3 + 1 ⋅ - 4 + 2 ⋅ 2

b ⋅ a × b = 0 - 4 + 4 = 0

Resposta

a × b = 3 i - 4 j + 2 k

a ⋅ a × b = b ⋅ a × b = 0

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Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2 a → + b → e b → - a → , sendo a → = ( 3 ,- 1 ,- 2 ) e b → = ( 1 ,0 ,- 3 ) .
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Dados os vetores a → = ( 1 ,2 ,1 ) e b → = ( 2 ,1 ,0 ) , calcular:b) ( a → + 2 b → ) × ( a → - 2 b → )
Dados os vetores u → = 2 ,- 1 ,1 ,v → = ( 1 ,- 1 ,0 ) e w → = ( - 1 ,2 ,2 ) , calcular:e) u → × v → . ( u → × v → )
Dados os vetores u → = 2 ,- 1 ,1 ,v → = ( 1 ,- 1 ,0 ) e w → = ( - 1 ,2 ,2 ) , calcular:g) u → × v → × w → e u → × ( v → × w → )