Enunciado

Encontre a área da região sombreada.

Passo 1

Queremos encontrar a área da região sobreada limitada pela curva

r = s e n 4 theta

Para isso, vamos usar a expressão da área em coordenadas polares:

A = int_a^b (1)/(2) r^2 d theta

Mas para isso, temos que descobrir os limites de integração theta = a e theta = b para a região sombreada!

Temos que nessa região, r = s e n 4 theta completa um ciclo indo de 0 , passando pelo seu valor máximo 1 e depois retornando até 0 . Isso significa que 4 theta foi de 0 até pi :

0 <= 4 theta <= pi => 0 <= theta <= (pi)/(4)

Portanto, os limites de integração são

a = 0 e b = (pi)/(4)

Passo 2

Desta forma:

A = (1)/(2) int_0^(pi // 4) s e n^2 4 theta d theta

Vamos fazer uma mudança de variáveis:

4 theta = x => d theta = (d x)/(4)

Assim,

A = (1)/(8) int_0^(pi) s e n^2 x d x

Agora lembramos que

cos 2 x = 1 - 2 s e n^2 x => s e n^2 x = (1 - cos 2 x)/(2)

Assim,

A = (1)/(16) int_0^(pi) (1 - cos 2 x) d x

Fazendo a integração:

A = (1)/(16) (x - (1)/(2) s e n 2 x)_0^(pi)

Portanto,

A = (pi)/(16)

Se quiséssemos a área da curva toda, bastaria multiplicar essa resposta por 8 pois temos oito laços!

Resposta

A = (pi)/(16)

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