Enunciado

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais.

F x , y = x 1 + z   i + y 1 + x j + z 1 + y   k

Passo 1

Agora na letra (b) queremos achar o divergente do campo vetorial dado. Mas o que é divergente?

Se F = P i + Q j + R k é um campo vetorial em R 3 e as derivadas parciais de P ,   Q   e   R existem, então o divergente de F é o campo vetorial em R 3 dado por:

d i v   F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Assim, para essa questão vamos primeiro calcular as derivadas parciais!

∂ P ∂ x = ∂ ∂ x x 1 + z = 1 2 x 1 + z

∂ Q ∂ y = ∂ ∂ y y 1 + x = 1 2 y 1 + x

∂ R ∂ z = ∂ ∂ z z 1 + y = 1 2 z 1 + y

Calculando o rotacional do campo vetorial:

d i v   F = 1 2 x 1 + z + 1 2 y 1 + x + 1 2 z 1 + y

Resposta

O divergente é:

d i v   F = 1 2 x 1 + z + 1 2 y 1 + x + 1 2 z 1 + y

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Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial. F x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 xi + yj + zk
b) Calcule ∫ C 2 x y 3 - y 2 cos ⁡ x d x + 1 - 2 y sin ⁡ x + 3 x 2 y 2 d y , onde C é o arco da parábola 2 x = π y 2 , de P 1 = 0,0 até P 2 = π 2 , 1 .
Considere a integral de linha ∫ C y 2 - x y d x + k x 2 - 4 x y d y . b) Calcule o valor da integral de A = 0,0 a B = 1,1 para o valor de k encontrado em a).
Caso exista encontre uma função potencial para V x , y = 2 x y 3 - y 2 cos ⁡ x , 1 - 2 y sin ⁡ x + 3 x 2 y 2 .
Verifique que as seguintes integrais independem do caminho e calcule seus valoresa) ∫ 1 , - 2 3,4 y d x - x d y x 2