Caso exista encontre uma função potencial para V(x, y) = (2xy^3 - y^2 \* cos(x), 1 - 2y \* sen(x) + 3x^2y^2) .

Passo 1

Para a gente verificar se a função V x , y admite uma função potencial, devemos inicialmente calcular

∂ V 2 ∂ x - ∂ V 1 ∂ y

onde V 1 = 2 x y 3 - y 2 cos ⁡ x e V 2 = 1 - 2 y sin ⁡ x + 3 x 2 y 2 . Se o resultado desse cálculo for igual a zero, então a função V x , y admitirá uma função potencial!!

Passo 2

Vamos então fazer o cálculo das derivadas:

∂ V 2 ∂ x = ∂ ∂ x 1 - 2 y sin ⁡ x + 3 x 2 y 2 ∂ V 2 ∂ x = - 2 y cos ⁡ x + 6 x y 2

∂ V 1 ∂ y = ∂ ∂ y 2 x y 3 - y 2 cos ⁡ x ∂ V 1 ∂ y = 6 x y 2 - 2 y cos ⁡ x

Logo, vemos que

∂ V 2 ∂ x - ∂ V 1 ∂ y = 0

ou seja, a função admite uma função potencial φ x , y tal que ∇ φ = V 1 , V 2 . Ou seja,

∂ φ ∂ x = V 1 = 2 x y 3 - y 2 cos ⁡ x ∂ φ ∂ y = 1 - 2 y sin ⁡ x + 3 x 2 y 2

Passo 3

Integrando a primeira equação do sistema, em relação a x , temos

φ x , y = ∫ 2 x y 3 - y 2 cos ⁡ x d x = x 2 y 3 - y 2 sin ⁡ x + U y φ x , y = x 2 y 3 - y 2 sin ⁡ x + U y

onde U y é uma “constante” que depende apenas de y . Derivando a expressão acima em relação a y , e usando a segunda equação do nosso sistema:

∂ φ ∂ y = 3 x 2 y 2 - 2 y sin ⁡ x + U ' y 1 - 2 y sin ⁡ x + 3 x 2 y 2 = U ' y U ' y = 1 U y = ∫ 1   d y = y

(aqui a gente considera a constante de integração igual a 0 , pois ela não faz diferença nenhuma). Logo,

φ x , y = x 2 y 3 - y 2 sin ⁡ x + y

Resposta

φ x , y = x 2 y 3 - y 2 sin ⁡ x + y

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