Enunciado

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais.

F x , y = x 3 y z 2   j + y 4 z 3   k

Passo 1

Bom, pessoal, na letra (a) queremos achar o rotacional do campo vetorial dado. Mas o que é rotacional?

Se F = P i + Q j + R k é um campo vetorial em R 3 e as derivadas parciais de P ,   Q   e   R existem, então o rotacional de F é o campo vetorial em R 3 dado por:

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Assim, para essa questão vamos primeiro calcular as derivadas parciais!

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y 0 = 0

∂ P ∂ z = ∂ ∂ z 0 = 0

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x x 3 y z 2 = 3 x 2 y z 2

∂ Q ∂ z = ∂ ∂ z x 3 y z 2 = 2 x 3 y z

∂ R ∂ y = ∂ ∂ y y 4 z 3 = 4 y 3 z 3

∂ R ∂ x = ∂ ∂ x y 4 z 3 = 0

Calculando o rotacional do campo vetorial:

r o t   F = 4 y 3 z 3 - 2 x 3 y z i + 3 x 2 y z 2 k

Resposta

O rotacional é:

r o t   F = 4 y 3 z 3 - 2 x 3 y z i + 3 x 2 y z 2 k

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