Enunciado

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais.

F x , y = sen ⁡ y z   i + sen ⁡ z x j + sen ⁡ x y   k

Passo 1

Bom, pessoal, na letra (a) queremos achar o rotacional do campo vetorial dado. Mas o que é rotacional?

Se F = P i + Q j + R k é um campo vetorial em R 3 e as derivadas parciais de P ,   Q   e   R existem, então o rotacional de F é o campo vetorial em R 3 dado por:

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Assim, para essa questão vamos primeiro calcular as derivadas parciais!

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y s e n   y z = z cos ⁡ y z

∂ P ∂ z = ∂ ∂ z s e n   y z = y cos ⁡ y z

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x s e n   z x = z cos ⁡ z x

∂ Q ∂ z = ∂ ∂ z s e n   z x = x cos ⁡ z x

∂ R ∂ y = ∂ ∂ y s e n   x y = x cos ⁡ x y

∂ R ∂ x = ∂ ∂ x s e n   x y = y cos ⁡ x y

Calculando o rotacional do campo vetorial:

r o t   F = x cos ⁡ x y - x cos ⁡ z x i + y cos ⁡ y z - y cos ⁡ x y j + z cos ⁡ z x - z cos ⁡ y z k

Resposta

O rotacional é:

r o t   F = x cos ⁡ x y - x cos ⁡ z x i + y cos ⁡ y z - y cos ⁡ x y j + z cos ⁡ z x - z cos ⁡ y z k

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