Determine x > 0 para que a série seja convergente:

sum_(n = 1)^(+ oo) (n ! x^n)/(n^n)

Passo 1

Para resolver essa belíssima questão, meus queridos, vamos fazer uso do critério da razão!!!

Esse critério nos garante que:

Seja a série sum_(k = 0)^(+ oo ) a_k , com a_k > 0 para todo k >= q , onde q é um natural fixo. Suponhamos que underset(k -> + oo)(lim) (a_k + 1)/(a_k) exista, finito ou infinito. Seja:

L = underset(k -> + oo)(lim) (a_k + 1)/(a_k)

Então,

a) L < 1 => sum_(k = 0)^(+ oo ) a_k é convergente.

b) L > 1 o u L = + oo => sum_(k = 0)^(+ oo ) a_k é divergente.

c) Se L = 1 , o critério não nos revela nada.

Passo 2

Nossa série é dada por:

sum_(n = 1)^(+ oo) (n ! x^n)/(n^n)

Então, sem muita conversa, vamos aplicar o teste da razão:

Nossa série é dada por:

a_n = (n ! x^n)/(n^n)

Vamos:

L = underset(n -> + oo)(lim) (((n + 1) ! x^(n + 1))/((n + 1)^(n + 1)))/((n ! x^n)/(n^n))

Como queremos que a série seja convergente, precisamos que L < 1 , então, após fazermos as devidas simplificações, temos a nova equação dessa forma:

L = underset(n -> + oo)(lim) (x * n^n)/((n + 1)^n) < 1

OBS:

x * underset(n -> + oo)(lim) (n^n)/((n + 1)^n)

Evidenciando n nas equações:

x * underset(n -> + oo)(lim) ((n)/(n ( 1 + (1)/(n) )))^n = x * underset(n -> + oo)(lim) ((1)/(1 + (1)/(n)))^n

Lembrem-se que:

underset(n -> + oo)(lim) (1 + (1)/(n))^n = e

Logo:

L = (x)/(e)

Como L = (x)/(e) e queremos L < 1 :

(x)/(e) < 1

x < e

Portanto, a série é convergente para 0 < x < e .

Resposta

Para 0 < x < e a série irá convergir.

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